2021高考全国卷立体几何大题

2015-2017立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

立 体 几 何

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）

【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

28π，则它的表面积是（ ） 3A．17π B． 18π C． 20π D． 28π

A，?∥平面CB1D1，??平面ABCD?m， 【2016，11】平面?过正方体ABCD?A1BC11D1的顶点

??平面ABB1A1?n，则m,n所成角的正弦值为（ ）

A．

1323 B． C． D．

3223【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问

题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有(

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1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，SD?底面ABCD，

AD?2，DC?SD?2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

????求二面角S?AM?B的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的

A1 C1 角的大小

B1 D A B E

C 3.（2009浙江卷）如图，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，

?ACB?120，P,Q分别为AE,AB的中点．（I）证明：PQ//平面ACD；（II）求AD与平

面ABE所成角的正弦值．

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，

PD?底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；（Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，

PM求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P?AB

立体几何大题练习（文科）：

1．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=

，侧面SAD⊥底面ABCD．

（1）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（2）若∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为

，求侧面△SAB的面积．

【分析】（1）由梯形ABCD，设BC=a，则CD=a，AB=2a，运用勾股定理和余弦定理，可得AD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面SAD，运用面面垂直的判定定理即可得证；

（2）运用面面垂直的性质定理，以及三棱锥的体积公式，求得BC=1，运用勾股定理和余弦定理，可得SA，SB，运用三角形的面积公式，即可得到所求值． 【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=设BC=a，则CD=a，AB=2a，在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 可得BD=

a，∠CBD=45°，∠ABD=45°，

=

a，

，

由余弦定理可得AD=则BD⊥AD，

由面SAD⊥底面ABCD．可得BD⊥平面SAD， 又BD?平面SBD，可得平面SBD⊥平面SAD；

（2）解：∠SDA=120°，且三棱锥S﹣BCD的体积为由AD=SD=

a，

a，

a，

，

立体几何中有关体积问题

一、知识归纳

1、柱体体积公式：V?S.h

2、椎体体积公式：V?13S.h 3、球体体积公式：V?433?R

二、点到平面的距离问题 求解方法：

1、几何法：等体积法求h

2、向量法： 点A到面?的距离d?AB?nn

?其中，n是底面的法向量，点B是面?内任意一点。题型分析：

1、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点，且CD?DA1

（1）求证：BB1?平面ABC （2）求证：BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积

A1C1 B 1 AC D B

2、如图，在四棱锥E?ABCD中，?ADE是等边三角形，侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC，且

BD?2DC?4，AD?3，AB?5.

（1）若F是EC上任意一点，求证：面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。

E F C D

AB

3、如图，在棱长为2的正方体中，E,F分别为

DD1、DB的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C （2）求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1

AB11 E D C F AB

新课标全国卷2007-2017十年真题分题型汇编——立体几何大题

[2007?海南宁夏理.18] 如图，在三棱锥S?ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，?BAC?90°，O为BC中点． （Ⅰ）证明：SO?平面ABC； （Ⅱ）求二面角A?SC?B的余弦值．

SOB[2008?海南宁夏理.18] 如图，已知点P在正方体ABCD?A1BC11D1的对角线B1D1上，?PDA?60． (1)求DP与CC1所成角的大小； (2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．

CA

[2009?海南宁夏理.19] 如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的

倍，P为侧棱

SD上的点． （Ⅰ）求证：AC?SD； （Ⅱ）若SD?平面PAC，求二面角P?AC?D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由．

[2010?海南宁夏理.18] 如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为等腰梯形，AB//CD,AC?BD，垂足为H,PH是四棱锥的高 ，E为AD中点

（Ⅰ）证明：PE?BC （Ⅱ）若?APB??ADB?60，求直线PA与平面PE

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

立体几何 07

20．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱

ABCD A1B1C1D1

D中，已知

1

A1

DC DD1 2AD 2AB

（1）求证：

B1

，AD⊥DC，AB∥DC．

D1C⊥AC1

；

C

B

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，

使

D1E∥

平面

A1BD

，并说明理由．

A

08

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知

BD 2AD

8，AB 2DC

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD的体积．

A

P

M

D

C B

09

18.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2,

E、E1分别是棱AD、AA1的中点

（Ⅰ）设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1； （Ⅱ）证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

A

F

B

A

B1

10

（20）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA 平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD PD 2MA.

（I）求证：平面EFG 平面PDC；

（II）求

立体几何 07

20．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱

ABCD A1B1C1D1

D中，已知

1

A1

DC DD1 2AD 2AB

（1）求证：

B1

，AD⊥DC，AB∥DC．

D1C⊥AC1

；

C

B

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，

使

D1E∥

平面

A1BD

，并说明理由．

A

08

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知

BD 2AD

8，AB 2DC

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD的体积．

A

P

M

D

C B

09

18.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2,

E、E1分别是棱AD、AA1的中点

（Ⅰ）设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1； （Ⅱ）证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

A

F

B

A

B1

10

（20）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA 平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD PD 2MA.

（I）求证：平面EFG 平面PDC；

（II）求