线性空间与线性变换考研考吗

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运

第七章 线性空间与线性变换

第三章在向量与线性运算的基础上引入了n维向量空间的概念。本章我们把向量空间推广到更一般的情形，得到线性代数的一个基本概念——线性空间；然后介绍线性空间中的一种最基本变换——线性变换。

§1 线性空间的定义与性质

首先引入数域的概念。

定义1：设P是包含0和1的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商(除数不为零)均在P内，则称P为一个数域。

显然有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域。

定义2：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义加法运算，即对于V中任意两个元素?与?，在V中有唯一的元素???与它们对应，称为?与?的和；且该加法运算满足：

(1) (交换律) ??????? (2) (结合律) ??(???)?(???)?? (3) (零元素) 存在元素0，对V中任一元素?，都有??0?? (1.1) (4) (负元素) 对V中每一个元素?，存在?的负元素?，使????0

在集合V的元素与数域P的数之间定义数乘运

第七章 线性变换

§7.1 线性映射

1．令?=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列映射?哪些是R3到自身的线性映射？ （1）?(?) =?+

? ，?是R3的一个固定向量．

（2）?(?) = (2x1–x2 + x3 ，x2 + x3 ，–x3) （3）?(?) =（x12 ，x22 ，x32）． （4）?(?) =（cosx1，sinx2，0）．

2．设V是数域F上一个一维向量空间．证明V到自身的一个映射?是线性映射的充要条件是：对于任意??V，都有?(?) = a?，这里a是F中一个定数．

3．令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间．取定A?Mn (F).对任意X?Mn (F)，定义

?(X) = AX–XA．

(i) (ii)

证明：?是Mn (F)是自身的线性映射。 证明：对于任意X，Y?Mn (F)，

?(XY) = ?(X)Y+X?(Y) ．

4．令F4表示数域F上四元列空间，取

?1?15?1???11?23???3?181????13?97?? A=?对于??F4，令?(?) = A?．求线性映射?的核和像的维数．

5．设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n．令?是V到W的一个线性映射．

线性变换及其矩阵

§1.2 线性变换及其矩阵

在讲线性空间之前我们说：“空间”是定义一些结构的能够容纳运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。由于变换的存在使得线性空间研究由静态的量的研究转化为了动态的元素之间关系的研究。那么，线性空间中的变换是如何定义的呢？它的实质又是什么呢？在本节中，我们将主要解决这一问题。

在开始定义线性变换之前，我们首先来回顾一下线性系统的定义： 线性系统的一个基本特征就是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是说：若线性系统的数学描述T（T看作是信号空间上的变换）,则对任意两个输入信号x和y以及任意两个非零常数c1和c2，下述关系式满足：

部请勿

一、 线性变换

资

下面，我们给出一般线性空间上的线性变换的定义

料

T(c1x+c2y)=c1Tx+c2Ty

1. 线性变换及其性质

内

设V是数域K上的线性空间, T是V上的变换，若T满足：对

x,y∈V, k,l∈K，T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，则称T是V上的线性变换。

那么线性变换具有什么性质呢？我们来看一下。 线性变换的性质：

(1) Tθ=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=θ

(2) T( x)=T(( 1)x+0y)=( 1)(Tx)+0(T

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

?,??L(V)在这个基下的矩阵分别是A

第七章 线性变换

一. 内容概述

1. 线性变换的概念

设Vn是n维线性空间，T是n维线性空间Vn中的变换，且满足

1） 对任意向量?,??Vn,有 T(???)?T(?)?T(?) 2） 对任意向量??Vn,k?F,有T(k?)?kT(?)

则称T为Vn中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算 1)T(0)?0，T(??)??T(?)

2) T(k1?1?k2?2???kn?n)?k1T(?1)?k2T(?2)???knT(?n)

3）设向量组?1,?2,?,?n线性相关，则向量组T(?1),T(?2),?T(?n)也线性相关。 线性变换的和：(T1?T2)(?)?T1(?)?T2(?) 线性变换的积：(T1T2)(?)?T1(T2(?)) 数乘变换：(?T)(?)??T(?) 线性变换T可逆时，逆变换T?1 都是线性变换。

线性变换的多项式：f(?)?am?m?am?1?m?1???a1??a0? 3. 线性变换的矩阵

设?是V的一个线性变换，?1,?2,?,?n是V的一个基，且

?(?1)?a11?1?a21?2???an1?n ?(?2)?a12?1?a22?2???an2?n

????

?(?n)?a1n?1?a2n?2

第七章 线性变换

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、线性变换：

2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法：

3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似：

5、矩阵的迹与范数：

6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核：

11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间：

13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式：

§1. 2 基本定理

定理7.1设L(V)是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么

L(V)关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；

定理7.2设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，?1,?2,?,?n是

V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换??L(V)，使得：

?(?i)??i(i?1,2,?,n)；

定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设?1,?2,?,?n是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换??L(V)，令?和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是L(V)到Pn?n的一一对应，且设

91

?,??L(V)在这个基下的矩阵分

三维线性变换

陈祥科

1、线性空间 ..................................................................................................................................... 2

1.1、 线性空间的代数定义 .................................................................................................... 2 1.2 线性空间的基和维度 ...................................................................................................... 2 2、线性变换 ................................................................................................................................

第四章 线性变换

习题精解

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V中，A?????,其中??V是一固定的向量； 2） 在线性空间V中，A???其中??V是一固定的向量；

22(x,x,x)?(x,x?x,x)； 12312333） 在P中，A

34） 在P中，A(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x1)；

35） 在P[x]中，Af(x)?f(x?1)

6） 在P[x]中，Af(x)?f(x0),其中x0?P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A???

8） 在P中，AX=BXC其中B,C?P是两个固定的矩阵. 解 1)当??0时,是;当??0时,不是. 2)当??0时,是;当??0时,不是.

3)不是.例如当??(1,0,0),k?2时,kA(?)?(2,0,0), A(k?)?(4,0,0), A(k?)? kA(?).

4)是.因取??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3),有 A(???)= A(x1?y1,x2?y2,x3?y3)

=(2x1?2y1?x2?y2,x2?y2?x3?y3,x1?y1) =(

高等代数

第二学期 高等代数北京大学工学院2012级 2013.10

高等代数

第二章 线性变换(1) Linear Transformation

高等代数

主题用变与不变的观点研究线性空间 线性变换与线性相关性的关系 确定线性变换的方法

由基的像决定 线性变换的矩阵表示

线性变换与子空间的关系 两重要子空间值域(像空间)和核(零空间)

线性变换下的不变的量： 特征值、不变子空间

高等代数

要点

在给定基情况下 线性变换 几何观点

矩阵 代数方法

线性变换在不同基下的矩阵 矩阵的相似 == 不同基下的矩阵表示所具有的共性

线性变换与矩阵联系

高等代数

§1 线性变换的定义

理解和掌握映射、单射、满射、双射、可逆映射的 定义 掌握线性变换的定义与基本性质

高等代数

映射

两集合从 A 到 B 的映射是一种对应关系 任给α A,存在惟一的 β B,使得 β=φ(α)

映射是更广意义之下的函数

高等代数

正确与不正确的映射

正确

不正确

高等代数

眏射的分类

单射：A中两个不同元素的像在B中也不同

1 , 2 A, 1 2 ( 1 ) ( 2 ) 1 , 2 A, ( 1 ) ( 2 )