初等几何研究第三版第一章

第 1 章

时域离散信号和时域离散系统

习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。

题1图

第 1 章

时域离散信号和时域离散系统

解：

x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)-δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+2δ(n-2)+4δ(n-3)+0.5δ(n-4)+2δ(n-6) 2. 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 -4≤n≤-1 0≤n≤4 其它

(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；  (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；

第 1 章

时域离散信号和时域离散系统

(3) 令x1(n)=2x(n-2), 试画出x1(n)波形； (4) 令x2(n)=2x(n+2), 试画出x2(n)波形； 

(5) 令x3(n)=x(2-n), 试画出x3(n)波形。 解： (1) x(n)序列的波形如题2解图(一)所示。

(2) x(n)=-3δ(n+4)-δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n-1)+6δ(n-2)+6δ(n-3)+6δ(n-4)

m 4

(2m 5) (n m) 6 (n m)m 0

1

4

第 1 章

五、关于平行与垂直

1、I是△ABC的内心,AI、BI和CI的延长线分别交△ABC的外接圆于 D、E和F.求证:EF⊥AD. 证明:已知I是△ABC的内心,

∴AD、BE和CF是∠BAC、∠ABC和∠ACB的角平分线

∴⌒BD=⌒CD，⌒BF=⌒AF，⌒AE=⌒CE ∴⌒BD+⌒BF+⌒AE=⌒CD+⌒AF+⌒CE ∴⌒DF+⌒AE=⌒DE+⌒AF

∴∠AIF=∠AIE=∠DIF=∠DIE ∴EF⊥AD

2. A、B、C、D是圆周上“相继的”四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS.

证明：∵P、Q、R、S 分别是AB、BC、CD、DA 的中点 D∴⌒AP=⌒PB ,⌒BQ=⌒QC ,⌒CR=⌒RD ,⌒DS=⌒SA ∴⌒AP+⌒QC+

⌒CR+⌒SA=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS

R又∵⌒PQ+⌒RS=⌒PB+⌒BQ+⌒RD+⌒DS , ⌒SP+⌒RQ=⌒AP+⌒QC+⌒

CR+⌒SA ∴⌒PQ+⌒RS=⌒SP+⌒RQ ∴SQ⊥PR

大学物理第三版

第一章§ 1-1 § 1-2 § 1-3

运动的描述

参照系 坐标系 质点 运动的描述 相对运动

1

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§1-1 参照系 坐标系 质点一、运动的绝对性和相对性例如,观察表明： 例如 观察表明： 观察表明 v地日=30kms-1, v日银=250kms-1, 0 v银银=600kms-1

这说明，一切运动都是绝对的， 这说明，一切运动都是绝对的，因此只有讨论相对意义上 的运动才有意义。 的运动才有意义。 英国大主教贝克莱： 让我们设想有两个球， 英国大主教贝克莱：“让我们设想有两个球，除此之外空 无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。 无一物，说它们围绕共同中心作圆周运动，是不能想象的。 但是，若天空上突然产生恒星， 但是，若天空上突然产生恒星，我们就能够从两球与天空不 同部分的想对位置想象出它们的运动了” 同部分的想对位置想象出它们的运动了”。2

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大学物理第三版

参考系 描述物体运动时被选作参考(标准)的物体或物体群— 描述物体运动时被选作参考(标准)的物体或物体群 —称为参考系。 称为参考系。 称为参考系 运动描述的相对性：即选不同

答案1.1

解：图示电路电流的参考方向是从a指向b。当时间t<2s时电流从a流向b,与参考方向相同，电流为正值；当t>2s时电流从b流向a，与参考方向相反，电流为负值。所以电流i的数学表达式为

2A t?2s? i?? -3A t?2s ?

答案1.2

解：当t?0时

u(0)?(5?9e0)V??4V<0

其真实极性与参考方向相反，即b为高电位端，a为低电位端； 当t??时

u(?)?(5?9e??)V?5V>0

其真实极性与参考方向相同，

即a为高电位端，b为低电位端。

答案1.3

解：(a)元件A电压和电流为关联参考方向。元件A消耗的功率为

pA?uAiA 则

uA?pA10W??5V iA2A真实方向与参考方向相同。

(b) 元件B电压和电流为关联参考方向。元件B消耗的功率为

pB?uBiB 则

iB?pB?10W???1A uB10V真实方向与参考方向相反。

(c) 元件C电压和电流为非关联参考方向。元件C发出的功率为

pC?uCiC 则

uC?pC?10W???10V iC1A真实方向与参考方向相反。

答案1.4

解：对节点列KCL方程

节点③: i4?2A?3A?0，得i4?2A?3A=5A 节点④: ?i3?i4?8A?0，得i3??i4?8A?

答案1.1

解：图示电路电流的参考方向是从a指向b。当时间t<2s时电流从a流向b,与参考方向相同，电流为正值；当t>2s时电流从b流向a，与参考方向相反，电流为负值。所以电流i的数学表达式为

2A t?2s? i?? -3A t?2s ?

答案1.2

解：当t?0时

u(0)?(5?9e0)V??4V<0

其真实极性与参考方向相反，即b为高电位端，a为低电位端； 当t??时

u(?)?(5?9e??)V?5V>0

其真实极性与参考方向相同，

即a为高电位端，b为低电位端。

答案1.3

解：(a)元件A电压和电流为关联参考方向。元件A消耗的功率为

pA?uAiA 则

uA?pA10W??5V iA2A真实方向与参考方向相同。

(b) 元件B电压和电流为关联参考方向。元件B消耗的功率为

pB?uBiB 则

iB?pB?10W???1A uB10V真实方向与参考方向相反。

(c) 元件C电压和电流为非关联参考方向。元件C发出的功率为

pC?uCiC 则

uC?pC?10W???10V iC1A真实方向与参考方向相反。

答案1.4

解：对节点列KCL方程

节点③: i4?2A?3A?0，得i4?2A?3A=5A 节点④: ?i3?i4?8A?0，得i3??i4?8A?

第1章 思考题与习题参考答案

一、选择题

1．等压下加热5％的下列水溶液，最先沸腾的是（ ） A. 蔗糖（C12H22O11）溶液 B. 葡萄糖（C6H12O6）溶液 C. 丙三醇（C 3H8O3）溶液 D. 尿素（ (NH2)2 CO）溶液

解：选D。在等压下，最先沸腾就是指溶液的蒸气压最低。根据难挥发非电解质稀溶液的依

数性变化规律，溶液质量摩尔浓度增大，溶液的蒸气压下降。这里，相同质量分数下，溶质的摩尔质量越小，质量摩尔浓度越大。选项D中非电解质尿素的摩尔质量最小，尿素溶液的质量摩尔浓度最大，蒸气压最低，在等压下最先沸腾。 2．0.1mol·kg－1下列水溶液中凝固点最低的是（ ）

A. NaCl溶液 B. C12H22O11溶液 C. HAc溶液 D. H2SO4溶液

解：选D。电解质溶液的依数性虽然不能用拉乌尔定律进行统一的定量计算，但仍然可以参

照难挥发非电解质稀溶液的依数性进行定性描述。即溶质的粒子数目增大，会引起溶液的蒸气压降低，沸点升高，凝固点下降和溶液的渗透压增大。此题中，在相同质量摩尔浓度下，溶液中的粒子数目估算出来是H2SO4溶液最多，所以其凝固点最低。 3．胶体溶

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第一节 映射与函数 一、集合 一、集合 二、映射 二、映射 三、函数 四、小结 三、函数

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一、集合总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素

a∈ M, ∈ a M, A = {a1 , a2 , , an }

有限集

M = { x x所具有的特征 无限集 }

x . 若x ∈ A,则必 ∈ B, 就说A是B的子集 记作 A B.

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数集分类: 数集分类

N----自然数集 自然数集 Q----有理数集 有理数集

Z----整数集 整数集 R----实数集 实数集

数集间的关系: 数集间的关系 N Z, Z Q, Q R.

= A 若A B,且B A, 就称集合 与B相等. ( A= B)例如 A = {1,2},

C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则 A= C. = 不含任何元素的集合称为空集 空集. 不含任何元素的集合称为空集 (记作 )

《初等数论》习题解答（第三版）

第一章 整数的可除性

§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3

?，an都是m得倍数，q1，q2，?，qn是任意n个整数，则定理3 若a1，a2，q1a1?q2a2???qnan是m得倍数．

证明：? a1,a2?,an都是m的倍数。

? 存在n个整数p1,p2,?pn使 a1?p1m,a2?p2m,?,an?pnm

又q1,q2,?,qn是任意n个整数

?q1a1?q2a2???qnan

?q1p1m?q2p2m???qnpnm?(p1q1?q2p2???qnpn)m

即q1a1?q2a2???qnan是m的整数 2．证明 3|n(n?1)(2n?1) 证明 ?n(n?1)(2n?1?)nn(? 1n)?(?2n? ?n(n?1)(n?2)?n(?1n)n(?

又?n(n?1)(n?2)，(n?1)n(n?2)是连续的三个整数 故3|n(n?1)(n?2),3|(n?1)n(n?1)

?3|n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)

从而可知

3|n(n?1)(2n?

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第一章 整数的可除性

§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3

定理3 若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则

q1a1?q2a2?证明：

?qnan是m得倍数．

a1,a2,an都是m的倍数。

pn使 a1?p1m,a2?p2m,? 存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,an?pnm

,qn是任意n个整数

?qnan

?q1a1?q2a2??q1p1m?q2p2m??(p1q1?q2p2?即q1a1?q2a2??qnpnm?qnpn)m

?qnan是m的整数

2．证明 3|n(n?1)(2n?1) 证明

n(n?1)(2n?1?)nn(? 1n)?(?2n? ?n(n?1)(n?2)?n(?1n)n(? 又

n(n?1)(n?2)，(n?1)n(n?2)是连续的三个整数

故3|n(n?1)(n?2),3|(n?1)n(n?1)

?3|n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)

从而可知

3|n(n?1)(2n?1)

3．若ax0?by0是

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第一章 整数的可除性

§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3

定理3 若a1，a2，，an都是m得倍数，q1，q2，，qn是任意n个整数，则

q1a1?q2a2?证明：

?qnan是m得倍数．

a1,a2,an都是m的倍数。

pn使 a1?p1m,a2?p2m,? 存在n个整数p1,p2,又q1,q2,,an?pnm

,qn是任意n个整数

?qnan

?q1a1?q2a2??q1p1m?q2p2m??(p1q1?q2p2?即q1a1?q2a2??qnpnm?qnpn)m

?qnan是m的整数

2．证明 3|n(n?1)(2n?1) 证明

n(n?1)(2n?1?)nn(? 1n)?(?2n? ?n(n?1)(n?2)?n(?1n)n(? 又

n(n?1)(n?2)，(n?1)n(n?2)是连续的三个整数

故3|n(n?1)(n?2),3|(n?1)n(n?1)

?3|n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1)

从而可知

3|n(n?1)(2n?1)

3．若ax0?by0是