向量的内积等于模的平方

【课题】7.3 平面向量的内积

【教学目标】

知识目标：

（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.

（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：

通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．

【教学重点】

平面向量数量积的概念及计算公式.

【教学难点】

数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．

【教学设计】

教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．

在讲述向量内积时要注意：

（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；

（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：

（1）当＝0时，a·b＝|a||b|；当＝180时，a·b＝－|a||b|．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．

（2）|a|＝a?a显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；

（3）cos＝础；

（4）“a·b＝0

成都市技师学院 理论课教案首页

7.3 平面向 课程名称 数学 课题名称 量的内积 授课日期 目标群体 14级五高汽车工程系2,3,4班 知识目标： （1）了解平面向量内积的概念及其几何意义. （2）了解平面向量内积的计算公式.利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 课时 2 任课教师 教学环境 谢春霞 理论课堂 学习目标 职业通用能力目标： 培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法． 制造业通用能力目标： 通过把实际问题向数学问题的转化,渗透数学建模的思想,提高学生用数学的意识,及学习数学的爱好. 平面向量数量积的概念及计算公式. 学习重点 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 学习难点 教法：讲授为主，学生自主预习为辅。 学法：直观学习法、练习、讨论 课件，教材 教法.学法 教学媒体 教师：准备课件、学生练习的资料 学生：教材、练习册 教学. 学习准备

成都市技师学院理论课教案副页

教学教学内容 环节教师 活动 学生 时间 活动

情景引入 新知 探索 创设情境 兴趣导入 F 提问 思考 分析 理解 掌握

Hilbert空间

一 内积空间的基本概念

设H是域K上的线性空间，对任意x,y?H，有一个中K数

(x,y)与之对应，使得对任意x,y,z?H；??K满足

1） 2） 3） 4）

(x,y)?0；(x,y)＝0，当且仅当 x?0； (x,y)＝(y,x)；

(?x,y)??(x,y)；

(x?y,z)＝(x,z)＋(y,z)；

定理1.1设H是内积空间，则对任意x,y?H有：

___________称(,)是H上的一个内积，H上定义了内积称为内积空间。

|(x,y)|?(x,x)(y,y)。

2设H是内积空间，对任意x?H，命

||x||?(x,x)

则||?||是H上的一个范数。

例 设H是区间[a,b]上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意x,y?H，定义

(x,y)??x(t)y(t)dt

ab________则与L[a,b]类似，(x,2y)是一个内积，由内积产生的范数为

b212a||x||?(?|x(t)|dt)上一个内积介不是Hilbert空间。

1.2 设H是内积空间，则内积(x,y)是x,y的连续

函数，即时xn?x，y?y，(x,y)?(x,y)。

nnn定理1.3 设H是内积空间，对任意x,y?H，有以下关系式成

　　工作以后，父亲经常对我说，工作中不要怕走“弯路”，更不要试图绕过“弯路”。

　　起初，我对父亲的话不以为然，彼时的我意气风发，相信通过自己的努力没有做不好的事情，可是很快，父亲的话就应验在了我的工作中。

　　那天，公司有一张计划表需要我用两个小时完成。其实，这份计划表我早已了然于胸，半个小时就能完成，但是，上司却又附加了一个要求，希望这张计划表不是简单的图表，最好能用更加形象生动的方式表达出来，让人一目了然又能印象深刻。

　　上司的话令我有些郁闷，因为这只是一张简单的计划表，图表并不复杂，要看懂也很容易，相信任何一个客户都能看明白，根本不必采取什么形象生动的方式。但上司的话也不能不听，我想了想，决定在图表上面加一些简单的箭头指示，并将图表中的重要部分用不同颜色标注出来。在我看来，这就是上司安排走了一段没必要的“弯路”而已。

　　一个小时后，我把自己的计划表交给上司，他看了看，不置可否地放在了一边。当天下午，上司宣布，与我一同进入公司的同事小李被调到了更加重要，薪水也更高的研发部。

　　后来，我才知道，这份计划表不仅交给了我，还交给了另外三个与我一同进入公司的新人。四个人之中，认认真真走“弯路”的人只有小李一个，他不仅放弃了原有的千篇一律的图表形式，

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

2.1向量的物理背景与

概念及几何表示主讲老师：陈震

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

情境设置老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？

C A B D

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

情境设置老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追 去，设问：猫能否追到老鼠？

C

结论：猫的速度再快 也没用，因为方向 错了.

A

B

D

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

讲授新课请同学指出哪些量既有大小又有方向？ 哪些量只有大小没有方向？

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

讲授新课1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量.

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

讲授新课1. 向量的概念： 我们把既有大小又有方向的量叫向量.

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

讲授新课 阅读教材，回答下列问题：(1)数量与向量有何区别？(2)如何表示向量？

(3)有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ (4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？

新课标高中数学人教A版必修四全册课件

讲授新课 阅读教材，回答下列问题：(5)满足什么条件的两个向量是相等向量？ 单位向量是相等向量吗？ (6)有一组向量，它

平面向量的加法 说课稿

乐都县高级实验中学：赵玉柱

各位领导老师大家好，今天我说课的内容是平面向量的加法的第一课时内容。 一、教材分析

1、教材的地位和作用：平面向量是数学中最主要的工具之一，而平面向量概念贯穿在解析几何的始终，概念是数学的基础，概念性强是平面向量理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对平面向量加法理解的程度会直接影响到今后的学习，所以平面向量加法的第一课时非常的重要。教学重点：平面向量加法的定义、平面向量加法的法则教学难点：平面向量加法的法则。 2、教学目标：

（1）教学知识目标：理解平面向量加法的定义、平面向量加法的法则。

（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。 二、教学方法

教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。依据是：因为以新的观点认识平面向量加法及平面向量加法法则，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使平面向量的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。

三、教学程序 （一）、课程导入 （二）、新课讲授： （三）、讲解例题 例1. （四）、课时小

第3讲 实内积空间

内容：1. 实内积空间

2. 正交基及正交补与正交投影 3. 内积空间的同构 4. 正交变换与对称变换

在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．

§1 内积空间

在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性(?,?)?(?,?)；可加性 (???,?)?(?,?)?(?,?)；齐次性

(k?,?)?k(?,?),?k?R；非负性

(?,?)?0，当且仅当

??0时,(?,?)?0．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为：

??(?,?)，cos??,???(?,?)．可见数量积的概念蕴涵着长度???与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．

定义1.1 设V是实线性空间，若对于V中任意两个元素（向量）?和?，总能对应唯一的实数，记作(?,?)，且满足以下的性质：

(1) 对称

课堂导学

三点剖析

一、直线的方向向量

【例1】 已知点A(1,3,0),B(2,4,3)以AB的方向为正向,建立数轴,试求点P,使得AP∶PB =1∶3.

思路分析：求点P,不妨先设P(x,y,z)再利用条件构造等式. 解：设P(x,y,z)， 由已知PB=3AP， ∴OB?OP=3(OP?OA)， ∴4OP=OB+3OA，

13OB+OA， 4413∴(x,y,z)=(2,4,3)+(1,3,0)

445133=(,,). 4445133∴x=,y=,z=,

4445133即点P(,,).

444OP=

温馨提示

求一点坐标,通常先设出点,再寻找条件等式或构造方程组求解. 二、平行与垂直

【例2】已知三棱锥O—ABC中，OA=OB=1，OC=2，OA，OB，OC两两垂直，如何找出一点D，使BD∥AC，DC∥AB？

思路分析:首先建立空间直角坐标系，利用点的坐标来解决平行问题.

解：建立如下图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).

由BD∥AC,DC∥AB?BD∥AC,DC∥AB,因此

?x??1,?(x,y?1,z)?k1(?1,0,2)???y?1, ??(?x,

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

30以内的平方数、10以内的立方数。

12=12=4

2

2

2

2

11=12 1 21=441 13=14

2=16

222=484 12=14 23=833=2743=64

5

2 =32 62 =64 10

32=942=165=256=3622

2213=16923=529

2142=19 24=576

2=1024

15=22 5=625 25 16=25 26=676

2

2

22

5=1256=216

3

3

4

3=81

72=4982=64

92=81102=10 172=28 1 8

2=32 192=36

202=400 272=729 282=784

292=841

302

=900 73=34383=51293=729 103=1000

4