卡方分布和t分布

卡方分布

一、 卡方分布的定义：

若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:

（1） (可加性) 设Yi~?2ni,?i,i?1,?,k,且相互独立，则 Y1???Yk~这里n?2?n,?,

?n,????.

ii22Va(r?n,?)?2n?4?.

（2） E(?n,?)?n??,

证明 （1）根据定义易得。 （2）设Y~2Y可表示为 ?n,?,则依定义，22 Y?X12???Xn?1?Xn,

其中Xi~N(0,1),i?1,?,n?1,Xn~N(?,1),且相互独立，于是

E(Y)??E(Xi2),

i?1n(1)

Var(Y)??Var(Xi2).i?1n(2)因为

E(Xi2)?Var(Xi)?E(

什么是Z检验?

Z检验是一般用于大样本（即样本容量大于30）平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数>平均数的差异是否显著。

当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用Z检验。

Z检验的步骤

第一步：建立虚无假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异。

第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。 1、如果检验一个样本平均数（）与一个已知的总体平均数(μ0)的差异是否显著。其Z值计算公式为： 其中：

是检验样本的平均数； μ0是已知总体的平均数； S是样本的方差； n是样本容量。

2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为： 其中：

是样本1，样本2的平均数； S1,S2是样本1，样本2的标准差； n1,n2是样本1，样本2的容量。

第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。 Z检验举例

什么是Z检验?

Z检验是一般用于大样本（即样本容量大于30）平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数>平均数的差异是否显著。

当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用Z检验。

Z检验的步骤

第一步：建立虚无假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异。

第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。 1、如果检验一个样本平均数（）与一个已知的总体平均数(μ0)的差异是否显著。其Z值计算公式为： 其中：

是检验样本的平均数； μ0是已知总体的平均数； S是样本的方差； n是样本容量。

2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为： 其中：

是样本1，样本2的平均数； S1,S2是样本1，样本2的标准差； n1,n2是样本1，样本2的容量。

第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。 Z检验举例

什么是Z检验?

Z检验是一般用于大样本（即样本容量大于30）平均值差异性检验的方法。它是用标准正态分布的理论来推断差异发生的概率，从而比较两个平均数>平均数的差异是否显著。

当已知标准差时，验证一组数的均值是否与某一期望值相等时，用Z检验。

Z检验的步骤

第一步：建立虚无假设，即先假定两个平均数之间没有显著差异。

第二步：计算统计量Z值，对于不同类型的问题选用不同的统计量计算方法。 1、如果检验一个样本平均数（）与一个已知的总体平均数(μ0)的差异是否显著。其Z值计算公式为： 其中：

是检验样本的平均数； μ0是已知总体的平均数； S是样本的方差； n是样本容量。

2、如果检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著。其Z值计算公式为： 其中：

是样本1，样本2的平均数； S1,S2是样本1，样本2的标准差； n1,n2是样本1，样本2的容量。

第三步：比较计算所得Z值与理论Z值，推断发生的概率，依据Z值与差异显著性关系表作出判断。如下表所示：

第四步：根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。 Z检验举例

第四章 理论分布和抽样分布第一节 事件、概率和随机变量 第二节 二项式分布 第三节 正态分布 第四节 抽样分布

第一节 事件、概率和随机变量一、事件和事件发生的概率必然事件：在特定情况下必定发生的事件1、事件：自然界中每一件事物的每一种可能出现的情况 不可能事件：在特定情况下不可能发生的事件 随机事件：在特定情况下可能发生也可能不发生的事件 2、概率：每一个事件出现的可能性

随机事件常用大写英文字母表示，例如A、B、C…等等 某事件出现的概率用P( )表示；例如P(A)、 P(B)等。 概率的有效范围为0~1,即0≤P(A)≤1。 必然事件记为 ,其概率为1,即 P( ) = 1。 不可能事件记为 ,其概率为0,即 P( ) = 0。 随机事件的概率在0~1之间，即0<P(A)<1。

第一节 事件、概率和随机变量二、事件间的关系1、和事件： 事件A和事件B至少有一件发生的事件。记作A+B,读作 “或A发生，或B 发生” 2、积事件： 事件A和B同时发生的事件。记作AB,读作“A和B同 时发生” 两件不可能同时发生的事件。记作A· B=V 3、互斥事件： 两件不可能同时发生，两者中必定有一件发生的事件。

1 超几何分布与二项分布的区别

[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布

判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物()A M 个、()B N M -个,任取n 个,其中恰有X 个A .符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列

()k n k M N M n N C C P X k C --==（0,1,2,,k m =）进行处理就可以了.

二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有A 与A 这两个,且事件A 发生的概率为p ,事件A 发生的概率为1p -；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A 发生的概率都是同一常数p ,事件A 发生的概率为1p -.

1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23

.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列；

(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8

初中数学 八年级(下册)

7.4

频数分布表和频数分布直方图

抽样测量某中学八年级50名同学 怎么分才好呢？?? 考验我们耐心 cm): 的身高，结果如下(单位： 频数分布表

的时候到了

身高分组150 148 159 156 157 163 156 164 156 159

频数

频率

169 163

频率是怎么得到 170 162 163 164 155 162 153 155 的？

160 165 160 161 166 159 161 157 155 167

162 165 159 147 163 172 156 165 157 164

你能迅速 2 0.04 看出这些 149.5-152.5 3 0.06 学生的身 152.5-155.5 5 0.1 高在什么 范围内， 155.5-158.5 8 0.16 9 0.18 整体分布 158.5-161.5 的情况如 161.5-164.5 13 0.26 何吗？146.5-149.5 164.5-167.5 167.5-170.5 7 2 1 50 0.14 0.04 0.02

152 156 153 164 165 162 167 151 161 162

170.5-173.5 合 计

1

学生人数/人14

频数分布

第四章 理论分布和抽样分布第一节 事件、概率和随机变量 第二节 二项式分布 第三节 正态分布 第四节 抽样分布

第一节 事件、概率和随机变量一、事件和事件发生的概率必然事件：在特定情况下必定发生的事件1、事件：自然界中每一件事物的每一种可能出现的情况 不可能事件：在特定情况下不可能发生的事件 随机事件：在特定情况下可能发生也可能不发生的事件 2、概率：每一个事件出现的可能性

随机事件常用大写英文字母表示，例如A、B、C…等等 某事件出现的概率用P( )表示；例如P(A)、 P(B)等。 概率的有效范围为0~1,即0≤P(A)≤1。 必然事件记为 ,其概率为1,即 P( ) = 1。 不可能事件记为 ,其概率为0,即 P( ) = 0。 随机事件的概率在0~1之间，即0<P(A)<1。

第一节 事件、概率和随机变量二、事件间的关系1、和事件： 事件A和事件B至少有一件发生的事件。记作A+B,读作 “或A发生，或B 发生” 2、积事件： 事件A和B同时发生的事件。记作AB,读作“A和B同 时发生” 两件不可能同时发生的事件。记作A· B=V 3、互斥事件： 两件不可能同时发生，两者中必定有一件发生的事件。

超几何分布和二项分布的联系和区别

开滦一中 张智民

在最近的几次考试中,总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布,二者到底该如何区分呢?什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题?什么时候用超几何分布的公式去解决呢?

好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案,其实这个问题的回答就出现在教材上,人教版新课标选修2-3从两个方面给出了很好的解释.

诚可谓:众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处! 一、两者的定义是不同的

教材中的定义: (一)超几何分布的定义

在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k) =

CkMn-kN-MCnC,k?0,1,2，?, m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N,称随机变量X服从超

N几何分布

(二)独立重复试验和二项分布的定义

1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验,且各次试验试验的结果相互独立,称为n次独立重复试验,其中A(i=1,2,…,n)是第ⅰ次试验结果,则

P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An) 2)二项分布

在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为P,

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某

城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个， 则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：

1、 2、

一个完全符合分布的样本 这个样本的方差

概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是

80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最