曲线的参数方程教案

圆锥曲线参数方程的应用

课题 ：圆锥曲线参数方程的应用 圆锥曲线参数方程的应用授课人：马鞍山二中 陈昌富

提 出 宝 贵 意 见

欢 迎 光 临 指 导

圆锥曲线参数方程的应用

复习提问： 回答下列曲线的参数方程(1)圆：(x-x0)2+(y-y0)2= r2 x = x 0 + r cos θ y = y 0 + r sin θ

(θ为参数)

x = a cos θ y = b sin θ

x2 y2 (2)椭圆： 2 + 2 = 1, (a > b > 0) a b x2 y2 (3)双曲线：2 b2 = 1, (a > 0, b > 0) a

x = a sec θ y = btgθ x = 2 pt 2 y = 2 pt

(4)抛物线：y2= 2px (p>0)

圆锥曲线参数方程的应用

例1、已知P(x,y)在椭圆 2 2 x y + = 1 上。求u=2x-y的最大值 4 9 解 设P(2cos θ ,3sinθ)(0≤θ<2 π ) 是椭圆上的点。 则 u=4cos θ -3sin θ= 5sin( - θ )。 4 π 其中 = arctg 显然 - θ=2kπ+ k∈

曲线的参数方程

一、学习目标：

通过平抛曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念初步掌握求曲线的参数方 程的思路，能将参数方程转化成普通方程。

二、学习重点、难点

重点： 曲线参数方程的探求及其有关概念。

难点： 平抛曲线参数方程的建立及对参数方程的理解。 三、学习过程

（一）、引入：在生产实践、军事技术、工程建设中有许多通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子．特别在两个变量之间的直接关系不易建立时，常用间接的方法将它们联系起来． 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？

问题1：物资投出机舱后，它的运动由哪两种运动合成？ （1）在水平方向上做 运动，其水平位移S= .

（2）在竖直方向上做 运动,其竖直下落高度H= 。

问题2：在上述运动中水平位移S和竖直下落高度H中是否有一个相同的变量，是什么？ 问题3：你能否建立

第1页 共5页 曲线的参数方程

教材 上海教育出版社高中三年级（理科）第十七章第一节 教学目标

1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程；

2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义；

3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，

形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。

教学重点

曲线参数方程的概念。

教学难点

曲线参数方程的探求。

教学过程

（一）曲线的参数方程概念的引入

引例：

2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。

已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。问：经过t 秒，该游客的位置在何处?

引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决

（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参

2 圆的参数方程

一、基础达标

1.已知O为原点，参数方程?A.1 C.3

2222?x＝cos θ，?

??y＝sin θ

(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝( )

B.2 D.4

解析 |OA|＝x＋y＝cosθ＋sinθ＝1，故选A. 答案 A

??x＝a＋2cos θ，

2.已知曲线C的参数方程是?(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实

?y＝2sin θ?

数a的取值范围是( ) A.a≥2 C.a≥1 解析 ∵曲线C2

B.a＞3 D.a＜0

??x＝a＋2cos θ，2

的参数方程是?(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)

?y＝2sin θ?

＋y＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆. ∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A. 答案 A

3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )

??x＝5－cos θ，

A.?(0≤θ＜2π) ?y＝5＋2sin θ???x＝2＋5cos θ，B.?(0≤θ＜2π) ?y＝－1＋5sin θ???x＝－1＋5cos θ，C.?(0≤θ＜π) ?y＝2＋5sin θ???x＝－1＋5cos θ，D.?(0≤θ＜2π) ?y＝2＋5sin θ?

??x

2 圆的参数方程

一、基础达标

1.已知O为原点，参数方程?A.1 C.3

2222?x＝cos θ，?

??y＝sin θ

(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝( )

B.2 D.4

解析 |OA|＝x＋y＝cosθ＋sinθ＝1，故选A. 答案 A

??x＝a＋2cos θ，

2.已知曲线C的参数方程是?(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实

?y＝2sin θ?

数a的取值范围是( ) A.a≥2 C.a≥1 解析 ∵曲线C2

B.a＞3 D.a＜0

??x＝a＋2cos θ，2

的参数方程是?(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)

?y＝2sin θ?

＋y＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆. ∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A. 答案 A

3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )

??x＝5－cos θ，

A.?(0≤θ＜2π) ?y＝5＋2sin θ???x＝2＋5cos θ，B.?(0≤θ＜2π) ?y＝－1＋5sin θ???x＝－1＋5cos θ，C.?(0≤θ＜π) ?y＝2＋5sin θ???x＝－1＋5cos θ，D.?(0≤θ＜2π) ?y＝2＋5sin θ?

??x

名思教育-----我的成功不是偶然的

名思教育个性化辅导教案 学生: 教师: 日期: 班主任: 时段:

课题 教学目标 圆锥曲线与方程一 圆锥曲线基本概念与性质 重难点透视 数形结合思想，模拟简化 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点 圆锥曲线基本概念与性质 圆锥曲线解题方法 例题精讲 预估时间 30分钟 30分钟 60分钟 掌握情况 教学内容 一、 本章知识网络结构： 【典型例题】 1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。 例1 已知l1:2x?m2y?2m?0与l2:y??3x?6，若两直线平行，则m的值为 _____． 例2 经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是 ． 2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系. 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，例3 已知圆的方程为x?y?6x?8y?0．设该圆过点(3，则四边形ABCD的面

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课题 教学目标 圆锥曲线与方程一 圆锥曲线基本概念与性质 重难点透视 数形结合思想，模拟简化 知识点剖析 序号 1 2 3 知识点 圆锥曲线基本概念与性质 圆锥曲线解题方法 例题精讲 预估时间 30分钟 30分钟 60分钟 掌握情况 教学内容 一、 本章知识网络结构： 【典型例题】 1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。 例1 已知l1:2x?m2y?2m?0与l2:y??3x?6，若两直线平行，则m的值为 _____． 例2 经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是 ． 2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系. 5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，例3 已知圆的方程为x?y?6x?8y?0．设该圆过点(3，则四边形ABCD的面

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为 的直线l经过F，且与圆锥曲线交于A、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则

（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长|AB|

H

； 22

|1 ecos |

（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长|AB|

推论：

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| （1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，

当A、B不在双曲线的一支上时，|AB|

H

；

1 e2cos2

H

；当圆锥曲线是抛物线时，

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

；

1 e2sin2

|AB| （2）焦

2.1.1 参数方程的概念

一、目标导学： 1.参数方程的概念 探究（见课本）

?x?100t? ?12(t为参数）y?500?gt?2?y 500 v=100m/s A O x

参数方程的定义：

2.圆的参数方程：

说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

3.思考交流：参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

４.例题讲解（见课本）： 二，设问释疑： １，小组对学

２，小组群学

三，巩固提升：

1.已知P（x,y）圆C：x2+y2－6x－4y+12=0上的点。

y（1）求 x 的最小值与最大值

（2）求x－y的最大值与最小值

22

2.圆x+y=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是 ；

3. 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：

为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；

4．若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x