柱体锥体台体的表面积和体积新教材优质课

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1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

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提出问题在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

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引入新课正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

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棱柱的展开图棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

S 直 棱 柱 侧 ch ( c 为 底 面 周 长 , h为 高 )

h正棱柱的侧面展开图

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棱锥的展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？

正棱锥的侧面展开图

h

/

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棱锥的展开图棱锥的侧面展

导学案

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（2）

班级 姓名 时间

1. 了解柱、锥、台的体积计算公式；

2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决 2526

复习1：多面体的表面积就是___________________ 加上___________.

复习2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______；若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是r，圆台下底面的半径是r ，母线长都为l,则S圆柱 _______________________,

S圆锥 ___________，S圆台 __________________.

引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V Sh（S为底面面积，h为高），是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的体积呢？

二、新课导学 ※ 探索新知

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)

柱体体积公式为： 锥体体积公式为： 台体体积公式为：

反思：思考下列问题

⑴比较柱体和锥体的体积公式，你发现什么结论？

⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式，你能发现三者之间的关系吗？

※ 典型例题

例1 如图(1)所示，

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

【教学目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 【教学重难点】

教学重点：运用公式解决问题 教学难点：理解计算公式的由来. 【教学过程】 （一）情景导入

讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容:

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习

1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图

高二数学必修2第一章空间几何体导学案 编制人： 审核人： 班级： 小组： 姓名： 等级：

§1.3.1 《柱体、锥体、台体的表面积》导学案

【学习目标】

1.能根据柱、锥、台的结构特征，并结合它们的展开图推导其表面积的计算公式； 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，并能简单应用。 【重、难点】柱体、锥体、台体的表面积公式及应用。

【预习案】

一.复习:

(1)正方形的表面积公式： 长方形的表面积公式：

c

b a a

(2)常见平面图形的面积公式： h h b a a a a

(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; a

r r h l

n b

(5)

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

A级 基础巩固

一、选择题

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )

A．4倍 B．3倍 C.2倍

D．2倍

解析：设轴截面正三角形的边长为2a，

所以S底＝πa2，

S侧＝πa·2a＝2πa2，因此S侧＝2S底． 答案：D

2.如图所示，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

1112

解析：因为VC-A′B′C′＝V柱＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝.

3333答案：C

3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )

A．π B．2π C．4π D．8π

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr·2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2·2r＝2πr3＝2π.

答案：B

4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米

第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

A级 基础巩固

一、选择题

1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )

A．4倍 B．3倍 C.2倍

D．2倍

解析：设轴截面正三角形的边长为2a，

所以S底＝πa2，

S侧＝πa·2a＝2πa2，因此S侧＝2S底． 答案：D

2.如图所示，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )

1A. 32C. 3

1B. 23D. 4

1112

解析：因为VC-A′B′C′＝V柱＝，所以VC-AA′B′B＝1－＝.

3333答案：C

3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )

A．π B．2π C．4π D．8π

解析：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr·2r＝4πr2＝4π，所以r＝1，所以V圆柱＝πr2·2r＝2πr3＝2π.

答案：B

4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米

《1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积》同步练习1

【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．

1．旋转体的表面积

名称 图形 公式 底面积：S底＝________ 圆柱 侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝2πr(r＋l) 底面积：S底＝________ 圆锥 侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝________ 上底面面积： S上底＝____________ 下底面面积： 圆台 S下底＝____________ 侧面积：S侧＝__________ 表面积： S＝________________ 2．体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．

1

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(S′＋S′S＋S)h．

一、选择题

1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) 842

A．8 B．π C．π D．π 2．一个圆柱的侧面展开图是

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图

是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并

且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r ,r,母线长为I,你

能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和?

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状

④学生思考圆台的侧面展开图的形状?

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题?

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和?因此，我们可以把它们展成平面图形，利

用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求

数学

1.3.1 柱体、锥体、台体，球体的体积

数学

祖暅原理 夹在平行平面α、β间的两个几何体，被平行于α、β的任何一个平面所截， 如果截面(阴影部分)的面积 S1=S2,那么这两个几何体的体积 夹在两个平行平面间的两个几何体， 夹在两个平行平面间的两个几何体， 一定相等。

被平行于这两个平面的任何平面所截， 被平行于这两个平面的任何平面所截， 如果截得的两个截面的面积都相等， 如果截得的两个截面的面积都相等，那 么这两个几何体的体积相等。 么这两个几何体的体积相等。祖暅β S1 S2

α

数学

我国古代著名数学家祖冲之在计 算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国 家的数学家早一千多年。在欧洲知道 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri .B,1598年~1647年)提 出上述结论

(429年~500年)

数学

取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度 取一摞书放在桌面上，将它如图那样改变一下形状， 没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书的体积与变形前相等。 没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）

一、教学目标 1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法

（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。 3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积计算 难点：台体表面积公式的推导 三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 一、复习准备：

1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 二、讲授新课：

1. 教学表面积计算公式的推导：

① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体