正态分布四次方的期望和方差

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度

2011理数导学案

第十三章 第一节 排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义；

（2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】

1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量??0，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p，则不发生的概率为1?p，这时，称?服从两点分布，其中p称为__________。其分布列为： 期望E??_______；方差D??________。

kn?kCMCN?M2．超几何分布：P(X?k)?，k?0,1,nCN,m，其中m?___________。

3．二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为_________。

kkn?kP(X?k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2，…n)，表示______________________，二项

分布的分布列为：

X 0 1 … … k … … n P 期望为EX?______________；方差为DX?_________________。 4．正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,",n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

2012届安吉高级中学高三数学（理）计数原理与概率统计复习导学案（主备人：鲍利人 ）

10．8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

班级 姓名

一、学习目标：

1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

2．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 二、学习建议：

1．把握基本题型； 2．强化方法选择．

三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题） 1．某学习小组的一次数学考试成绩为： 分 数 频 数 频 率 分数×频率 95 2 96 4 97 3 98 1 填写表格的三、四两行，并求出①该学习小组这次考试的平均分；②表格的第四行的4个数据之和。 根据你的结果，解析你的发现。

知识链接1．

1．离散型随机变量的均值与方差的概念

若离散型随机变量X的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离

概率论课件

第四章 随机变量的数字特征随机变量的概率分布：能完整地描述随机变量的统计规律性。 但在许多情况下，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征 的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征. 如：评价某地区粮食产量水平——平均产量 评价某批棉花质量——纤维的平均长度、 各纤维长度与平均长度之间的偏离程度

本章将讨论随机变量的 数学期望、方差 协方差及相关系数 方差、协方差 数学期望 方差 协方差 相关系数

概率论课件

4.1 数学期望一、离散型随机变量的数学期望

(mathematical expectation)

某商场计划与五一节在户外搞一次促销 活动，统计资料表明，如果商场内搞促销可获得经 济效益3万元；在商场外搞促销，如果不下雨可获经 济效益12万元，如果下雨则带来经济损失5万元；若 天气预报称当天有雨的概率为40%,则商场如何选择 促销方式？

引例

定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为 x1 x2 L xk L X

P则称

E ( X ) = ∑ xk pk (要求此级数绝对收敛)k =1

∞

p1

p2 L pk L

为 X 的数学期望(或均值).

如果级数是条件收敛的，则 它的和与级数中各项的求和 顺序有关.为了避免这种混 乱的局面出现，因

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

12．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽

3实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

第1页 共5页

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为

一、 正态分布

1.1概率密度函数

0.040.0350.030.0250.020.0150.010.0050-30y-20-100x10203040图1

正态分布的特征

（1）正态曲线在横轴上方均数处最高； （2）正态分布以均数为中心，左右对称；

（3）正态分布有两个参数，即均数μ和标准差S。μ是位置参数，当s固定不变时，μ越大，曲线沿横轴向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴向左移动。S是形状参数，当μ固定不变时，S越大，曲线越平阔；S越小，曲线越尖峭；

（4）正态曲线下面积的分布有一定规律：

①正态分布时区间（μ-1s,μ+1s）的面积占总面积的68.27%；②正态分布时区间（μ-1.96s,μ+1.96s）的面积占总面积的95%；③正态分布时区间（μ-2.58s,μ+2.58s）的面积占总面积的99%。

1.2、分布函数

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-100-80-60-40-200x20406080100p 图-2

正态分布是连续性变数的理论分布，计算其概率的原理和方法不同于二项分布。它

不能计算变量取某一定值，即某一点时的概率，而只能计算变量落在某一区间内的概率（即

概率密度）。

对于任何正态分布随机变

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

12．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽

3实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

第1页 共5页

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为

1-7-2 随机变量分布列、期望、方差

1．在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示：

学生 数学(x分) 物理(y分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93 (1)根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程； (2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

n

?xi－x??yi－y?^^^^^i∑^－＝1附：回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平n∑ ?xi－x?2＝

i1

均数．

2．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序做答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

311

已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相