函数与不等式综合题

数列与不等式

1．把正奇数数列{2n?1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

1 3 5 7 9 11 ……………………… ……………………………

设amn?m,n?N*?是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．

（1）若amn?2011，求m，n的值； （2）已知函数f(x)的反函数为f?1(x)?8x(x?0)，若记三角形数表中从上往下数第nn3行各数的和为bn，求数列{f(bn)}的前n项和Sn． 解：（1）?三角形数表中前m行共有1?2?3?…?m? ?第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第 故第m行最后一个数是2?m(m?1)2?1?m22m(m?1)2个数，

m(m?1)2项．………………………2分

?m?1．

因此，使得amn?2011的m是不等式m?m?1?2011的最小正整数解． 由m?m?1?2011得m?m?2012?0

?1?1?80482?1?2222 ?m??7921??1?892?44,?m?45.

于是，第45行第一个数是44?44?1?2?1981 ?n?2011?19812?1?1?16.……………………

不等式综合应用

一、知识梳理

1、 不等式的性质、均值定理、绝对值不等式定理 2、 不等式的解法、证法

3、 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系与区别 4、 线形规划，导数的应用。

1、）若实数a、b满足ab<0，则（ ）

A．|a－b|<|a|－|b| B．|a－b|<|a|+|b| C．|a+b|>|a－b| D．|a+b|<|a－b|

2

2、 设ｆ(x)= x+ax+b，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则点(a，b)在aOb平面上的区域的面积是 （ ）

A．

19 B．1 C．2 D． 227

3、 已知xy＜0且x+y=2，而(x+y)按x的降幂排列的展开式中，第三项不大于第四项，那

么x的取值范围是 （ ）

A．(??,0)?(0,) B．[,??)

5454C．(??,0) D．(??,]

544、 函数y?f(x?1)的图像如下图所示，它在R上单调递减.现有如下结论：①f(0)?1；

?1

函数、方程、不等式综合应用专题

2011年中考复习二轮材料

函数、方程、不等式综合应用专题

一、专题诠释

函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯

穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。

这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全

国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在

数列、函数与不等式 不等式证明方法种种 数列与不等式

数列、函数与不等式

及其试题设计

三、不等式证明 方法总结：

不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．

A B 0 A B；作商比较：A B 作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．

3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．

4、反证法：正难则反．

放缩法的方法有：

①

an； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③

利用基本不等式，如：log3 lg5 (④

lg3 l

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3

1

《函数、不等式、导数》专题分析

函数、方程、不等式是一个有机的统一体，其中函数是核心，而导数又是研究函数变化率、解决函数问题的有力工具。新教材引入导数的内容后，拓展了高中数学学习和研究的领域，也为高中数学解题增添了新的工具，新的思路。此外，由于导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数等知识联系紧密，在这些知识交汇点处设计层次不同，难度可控的试题，以考查学生对知识的整体把握和综合能力正成为高考试卷中新的综合热点。所以在复习中一定要使学生明确导数的地位和作用，特别是，什么情况下应用导．．．．．．．．数一定要让同学们心中有数，在应用的过程中注意什么更应该清楚。 ．

一 命题研究 年份 考点 导数的概念及运湖南T6 算 函数的切线、切线倾斜角、导数的几何意义 湖北T7、湖南T21、全国ⅡT21、安徽T7、浙江T8、全国ⅡT8、辽宁T22、全国ⅡT22、江苏T15、浙江T20、广东T12、安徽T18、福建T19、重庆T12 湖南T13 天津T20 江西T5、辽宁T12、江苏T13、安徽T20、全国ⅢT22、江西T7 函数的单调性 全国ⅠT21、四川T22、福建T20、湖北T19、湖南T21、天津T10、北京T

1 7.1 不等关系与不等式

五年高考

I考点不等式的概念和性质 1．（2013陕西，10.5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y， 有 ( )

A.[?x]??[x] B.[2x]?2[x] c.[x?y]?[x]?[y] D.[x?y]?[x]?[y]

2．（2013广东．8,5分）设整数n≥4，集合X?{1,2,3,?,n}?令集合S?{(x,y,z)|x,y,z?X,且三条件x?y?z,y?z?x,z?x?y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（x，w，x）都在S中，则下列选项正确的是 ( )

A.(y,z,w)?s,(x,y,w)?S B.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)?s D?(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

3．（2012湖北．10.5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积y，求其直径d的一个近似公式d?316V?人们还用过一些类似的近

复习:

一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0） 1、判别式：

，

2、 韦达定理 x1,x2是方程的两个实数根

3、求根公式

例1：当m为何值时，关于x的方程x2-2（m+2）x+m2-1=0

1) 有两个正根；2）有一正根一负根；3）有两个大于2的根

二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）

顶点坐标

线），与x轴的交点坐标是

，交点式为

和

（仅限于与x轴有交点的抛物

。对称轴为直线

。

例1：已知二次函数y=ax2+2ax+1在-3≤x≤2上有最大值4，求a值

例2：求y=x2-4x-5在0≤x≤a上的最值

例3：f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1上的最大值为2，求a

一元二次不等式的解法

步骤：1.二次项系数变为正 2.看能否因式分解 ①若能因式分解 口诀：大于两根之外，小于两根之间。②若不能因式分解 则算△ 再画图求解 例：（1）2x2-3x-2>0

(2)-3x2+6x-2>0 (3)4x2-4x+1>0 (4)-x2+2x-3>0

试解关于x的不等式 1、ax2-(a+1)x+1<0

2、(1-a)x2+4ax-(4a+1)>0

分式不等式解法：

高次不等式解法

数轴标根法 步骤 1.右边化为02.因式分解成多个因式相乘积的

第 1 6卷第 1期2 O 1 3年 1月

高等数学研究S TUDI E S I N C0LLE GE M ATHEM ATI CS

V0 1 . 1 6。 No . 1

J a n .,2 0 1 3

由 Mi n k o w s k i不等式生成的函数时统业，邓捷坤(海军指挥学院浦口分院，江苏南京 2 1 1 8 O O )

摘要定义一个与 Mi n k o w s k i不等式相关的二元函数，由它的单调性和准线性，可得出 Mi n k o ws k i不等式的一些加细 .

关键词 Mi n k o w s k i不等式；准线性；单调性中图分类号 0 1 7 8 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 3 ) 0 1— 0 0 3 8— 0 3

文[ 1]研究了由 S c h wa r z不等式生成函数的方

法，本文以其为借鉴，研究由 Mi n k o ws k i不等式生成的函数的准线性和单调性 .

( )≥ ( )=== ( s古+￡古 ) ,也即待证不等式成立。

引理 1 ( Mi n k o ws k i不等式)[ ] 设， ( )和g (￡ )

定义 1设， ( z )和g ( z )在[口， 6]上可积

二次函数与圆的综合题

1．已知：如图，抛物线y??323x?x?3的图象与x轴分别交于AB，两点，与y33轴交于C点，⊙M经过原点O及点A，C，点D是劣弧OA上一动点（D点与AO，不重合）．

（1）求抛物线的顶点E的坐标； （2）求⊙M的面积；

（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使2FG?，试探究当点D运动到何处时，直线 GA与⊙M相切，并请说明理由．

2.如图，已知二次函数y?mx?(m?3)x?3(m＞0) (1) 求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点,

(2) 这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=4，

2

⊙M过A，B，C三点，求扇形MAC的面积S。

(3) 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

3.抛物线y?ax2?bx?c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x?1 B(3,0),C(0,3)

（1）求二次函数y?ax2?bx?c的解析式；