求动点轨迹方程的常用方法

2.1.2求曲线的方程 (求动点的轨迹方程)

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程 的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借 助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足 某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐 标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这 就是我们反复提到的坐标法。

点M

按某中规律运动几何意义

曲线C

坐标(x, y )

x, y的制约条件

“数形结合” 数学思想的 基础

代数意义

方程f ( x, y) 0

数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何。解析几何主要研究的 问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质。

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.

例1.设A、B两点的坐标是(-1,-1

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法

张昕

陕西省潼关县潼关高级中学 714399

求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1） 直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直

接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质.

（2） 定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、

双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方程要善于抓住曲线的定义特征.

（3） 代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹

方程.这就叫代入法.

（4） 参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的

变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程.

（5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列

求不定方程整数解的常用方法

摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.

关键字：不定方程;整数解;整除性

1引言

不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.

中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究

篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

4

，求点M 的轨迹方程。 9

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?

yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3

yy4

??(x??3) x?3x?39

x2y2

化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)

94

练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，

篇一：高中数学求轨迹方程的六种常用技法

求轨迹方程的六种常用技法

轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段AB?6，直线AM,BM相交于M，且它们的斜率之积是

4

，求点M 的轨迹方程。 9

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(?3,0),B(3,0)，设点M的坐标为(x,y)，则直线AM的斜率kAM?

yy(x??3)，直线BM的斜率kAM?(x?3) 由已知有x?3x?3

yy4

??(x??3) x?3x?39

x2y2

化简，整理得点M的轨迹方程为??1(x??3)

94

练习：1．平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x?4的距离之比为2，

一．运用二次函数求极值（顶点坐标法，配方法，判别式法）三种方法等效，适用于有二次函数的式子。

顶点坐标法对于典型的一元二次函数y?ax2?bx?c,

b4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极小值，为ymin?；

2a4ab4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极大值，为ymax?；

2a4a例1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1?Vt， 汽车做匀加速运动，其位移为：S2?12at 22

1232?S?S?S?Vt?at?6t?t 两车相距为：1222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。 当t???Sm?b?6??2(s)时，?S有最大值 2a2?(?3/2)4ac?b24a?0?624?(?3/2)?6(m)

二．利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin?cos?”的形式，则y=Asin2α，在?=45o时，y有极值

关于求圆锥曲线方程的方法 重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

C' 典型题例示范讲解 18 m C 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部

20 m 分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A' 14 m A A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端

点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出22 m B B' 该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法

函数的定义域与值域的常用方法

一. 教学内容：

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值

二. 学习目标

1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；

3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；

4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；

5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三. 知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题所给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值

中考数学核心知识点专题练习（十）

〔动点路径（轨迹）问题〕

班级__________ 座号________ 姓名____________

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．

“动点路径”是一个比较抽象的问题，但在高中解析几何中的学习是非常有用的，也是非常重要的。在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变的关系。

六种常用的基本轨迹：

①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。 ②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距离等于定长的两条直线。

④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线距离相等的一条直线。

⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。 ⑥和已知线段的两个端点的连

2016届毕业生 毕业论文

题 目： 非线性方程求重根方法研究 院系名称： 理学院 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 教师职称：

2016年05月20日

摘 要

随着科学技术的发展，在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量而复杂的数学计算问题。这些问题常常归结为非线性方程求根的问题。求解非线性方程的单根已经具有了比较成熟和丰富的构造技术手段。例如，其中在工程和其他领域的科学计算中的广泛应用迭代算法，它从某个初始点出发，由迭代格式生成一种收敛于方程根的序列。这些方法在面对非线性方程单根的时候可以很好的解决问题，然而这些方法在求解非线性方程的重根时，构造的算法显得相当的复杂甚至是无效的。举一个简单的例子就是平时我们经常研究的经典的牛顿迭代法。它对方程的单根二阶收敛，但是对于于方程的重根只能线性收敛，并且收敛速度变慢。因此非线性方程重根的高阶，尤其是最优解的迭代格式如何构造是一项具有挑战性的工作。直到