含绝对值函数的单调性

函数问题,绝对值,分类讨论,数形结合,推理与论证的逻辑思维能力

含绝对值的函数问题处理

1.（2005年江苏卷）已知a∈R，函数f(x)=x2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：f(x)=x

2

2ìïx(x-2),x 2ï, x-2=í

ï-x2(x-2),x<2ïî

①当x≥2时，有x2(x-2)=x,解得x=0或x2-2x-1=0,

解得：x1=1+取x1=1+

x2=1-

，

2

x<2时，有-x(x-2)=x,解得:x=0或x=1．

综上所述，当ａ=2时能使ｆ(ｘ)=ｘ成立的ｘ的集合为｛0，1

，1+(II)对函数式进行分解得：f(x)=x

2

2ìïx(x-a),x a

x-a=ïí

ï-x2(x-a),x<aïî

｝

2a2

, ①当x≥a时，设f1(x)=x2(x-a),则f1¢(x)=3x-2ax,得极值点x=0或x=

3

a. 当a<0时,函数f(x)在区间çç-ト,

06函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义 函数的概念 三要素 表示 定义域 对应法则 值域 单调性 对称性 函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数

列表法 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函 数

正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;单调性：同增异减 定义、图象、 性质和应用

复合函数抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对

函数的单调性与最值

一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1

设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．

1．下列函数在其定义域上是增函数的是( )

A．y＝tan x

B．y＝－3x C．y＝3x

D．y＝ln |x|

自左向右看图象是________ 解析：y＝tan x只在其周期内单调递增，y＝－3x在R上单调递减，y＝3x在R上单调递增，y＝ln |x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

答案：C

2．(2013·海淀区一模)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是( )

A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax

解析：a＞0时，函数f(x)＝ax＋b，为增函数；对于函数f(x)＝ax，当0＜a＜1时，在R上为减函数，当a＞1时，在R上为增函数；对于f(x)＝logax,0＜a＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a＞1时在(0，＋∞)上为增

§2.2 函数的单调性与最值

1.以选择或填空题的形式考查函数的单调性；2.考查求函数最值的几种常用方法；3.利用函数的单调性求参数的取值范围．

1.从数、形两种角度理解函数的单调性与最值；2.判断复合函数的单调性；3.含参函数的最值，对参数进行讨论．

1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义

增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变定义 量x1，x2 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2． 函数的最值

前提 条件 结论 [难点正本 疑点清源] 1． 函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. M为最大值 (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x

含答案

第二讲 函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(

x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

1

函数的单调性说课稿

发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566

【文字：大 小】

函数的单调性说课稿

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其

第2讲 函数的单调性与最值

一、选择题

1.若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为( ) A.－2

B.2

C.－6

D.6

aa

解析 由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－2，＋∞)，令－2＝3，∴a＝－6. 答案 C

2.(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) 1A.y＝

1－xC.y＝ln(x＋1) 解析 ∵y＝

1

B.y＝cos x D.y＝2－x

与y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数，且y＝cos x在(－1，1)1－x

?

y＝2－x＝?

1?x

?在(－1，1)上是减?2?

上不具备单调性.∴A，B，C不满足题意.只有函数. 答案 D

3.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a2；当a

B.1

C.6

D.12

解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2， 当1

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数. ∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6. 答案 C

4.已知函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝?1?f?－2?，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小

导数与函数极值和最值

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值 (1)函数的极值的概念：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小， f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 f′(x)>0 ___________,右侧__________,则点a 极小值点 叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做 极小值 函数y=f(x)的________.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 在点x=b附近其他点的函数值都大，

f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 f′(x)<0 _________,右侧_________,则点b叫极大值点 做函数y=f(x)的__________,f(b)叫做 函数y=f(x)的________.极小值点、极 极大值 极值点 大值点统称为________,极大值和极小 极值 值统称为_______.

(2)求函数极值的步骤： ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根； ③检查方程根左右两侧值的符号，如果

左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值 _______,如果左负右正，那么f(x)在这

个根处取___

函数的单调性说课稿

发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566

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函数的单调性说课稿

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其

含答案

第二讲 函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(

x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

含答案

1. f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2x

2.函数f(x)＝[1,2]的最大值和最小值分别是________________.

x＋1

3.已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图象上，则不等式－2<f(x)<2的解集为________________________________________________________________. 4.下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是( ) 1A.f(x)＝

xC.f(x)＝e2

B.f(x)＝(x－1)2

D.f(x)＝ln(x＋1)

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