复变函数幂级数展开式怎么求

CH 4 级数

1、复数项级数

2、幂级数3、泰勒(Taylor)级数

4、罗朗(Laurent)级数

第四章幂级数

§4.1 复数项级数

1. 复数列的极限

2. 级数的概念

26 December 2013

© 2009, Henan Polytechnic University

2 2

第四章幂级数

1. 复数列的极限

定义 设复数列：{ n }( n 1,2, ), 其中 n=an ibn , 又设复常数： a ib,

若 0, N 0, 当 n N , 恒有 n ,

那么 称为复数列 { n }当n 时的极限， 记作lim n , 或当n 时， n ,n

定理1 lim n lim a n a , lim bn b. n n n 证明 “ ”已知 lim n 即，n

此时，也称复数列 n }收敛于 . {

0, N 0, n N , 恒有 n 26 December 2013© 2009, Henan Polytechnic Uni

一、 泰勒级数

在泰勒定理中曾指出，若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则：

f''(x0)f(n)(x0)2（1） (x-x0)+?+(x-x0)n+Rn(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'这里Rn(x)为拉格朗日余项

f(n+1)(?)（2） Rn(x)=(x-x0)n+1

（n+1）!其中，?在x与x0之间，称（1）为f在x0的泰勒展式。

如果在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在x0附近f可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f在x=x0处存在任意阶的导数，这时称形式为

f''(x0)f(n)(x0)2 f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)+?+(x-x0)n+? （3）

2!n!'的级数为函数f在x0的泰勒级数，对于级数（3）是否能在x0附近确切的表达f,或说f在x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是f，这就是下面要讨论的问题。

先看一个例子： 例1 由于函数

?-x12?f(x)??e,x?0

??0,x?0在x=0处任何阶导数都等于0，即

f(n)(0)=0,n=1,2,?

所以f在x=0的泰勒

.

精品 图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

。!

4!3!21)(;!

3!21)(;!

21)(;

1)(;

)exp(4

32443

2332

2211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+====

-3-2-10

123

-50

5

101520

25

Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation

X Y

.

精品 图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

。!

7!5!3)(;!

5!3)(;!

3)(;

)();

sin(7

53775

3553

3311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-=====

-4-3-2-10

1234

-8-6

-4

-2

2

4

6

8

Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation

X Y

.

精品 图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式

其中，

。!

8!6!4!21)(;!

6!4!21)(;!

4!21)(;!

21)();

幂级数展开的多种方法

摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结

关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开

在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：

定理 1（泰勒定理）设f?z?在区域D内解析，a?D，只要圆K:z?a?R含于D，则f?z?在K内能展成幂级数f?z???c?z?a?，其中系数

nnn?0?cn??d?n?1?2?i????a?1f???f?n??a?n!.（?:z?a?? 0???R n=0,1,2?)且展式唯

一.

定理2（洛朗定理）在圆环H:r?z?a?R （r?0 R???）内解析的函数

f?z?必可展成双边幂级数f?z????n???cn?z?a?n，其中系数cn??d? n?1?2?i????a?1f??(n?0,?1,?2? ?:z?a?? r???R) 且展式唯一.

这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展

阳 泉 学 院

机械设计基础课程设计说明书

设计题目： 带式输送机传动装置 班 级： 机电一体化二班 姓 名： 邵华 学 号： 130522060 指导教师： 张立仁

2014年 12月30日

成绩 签字 日期

目录

第一章 设计任务书…………………………………………………1

§1设计任务……………………………………………………………1

第二章 传动系统方案的总体设计………………………………1

§1电动机的选择 …………………………………………………………1 §2传动比的分配 …………………………………………………………2 §3传动系统的运动和动力学参数设计…………………………………3

第三章 高速级齿轮设计……………………………………………4

§1按齿面强度设计……………………………………………………4 §2按齿根弯曲强度设计…………………………………………………6

第四章 低速级齿轮设计……………………………………………8

§1按齿面强度设计…………………………………

12

435

6

7拆视去盖孔部件

9 48 223.470 1 0351.81 13 54 15 379152 12 0 25 4251 05 4 48947 46 1 1530± 0.3015 5 54 3393 35 14 240 273 687.0934 2 517.667545 44 3 44 21 40439 38 73 6 35 33技4术性特入输功率 k/ 15W 1 17762H 7/h8 181 20985H 7h/ 21 28 2242 4.127894 09 0. 82 52. 5入转速输/(/rim)传n比 i效率动传动η特性m3 Z 1Z 23ZZ 4数 28齿 7 052 09精等度 8级cGB 11 3561-998 c 8GB1 3615-198 98cGB 11365 -19898 c BG 1136-598193 32 31 3032 9 82 7 22 652 8 4743 06 8kH7525 1 2. 3. 4. 5. .. 67.8技术要.求配装，所有前零件需行进清，洗箱体内涂耐油漆油，速减器表面涂外色灰油漆。轮齿合啮隙不侧得于0.1小mm用，丝检铅时查其直不得大径于小侧最的隙格。齿两接触面点沿

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

常见幂级数求和函数方法综述

引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。

幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g