极值点偏移问题的三种解法

电功率极值的三种解法

在图所示的电路中，电源电压U=6V

，定值电阻

R=10Ω。求：在滑片移动的过程中，滑动变阻器功率的最大值是PM多少？

分析：这是一道典型的求极值问题。可用以下三种方法解题。

小功率

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1,x2，且a?x1?x2?b，

（1）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏；

（2）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于有x1?x0，且2x0?x2?x0，又f(x1)?f(2x0?x2)，故x1?(?)2x0?x2，a?x1?x2?b，所以

x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数极（小）大值点x0右（左）偏； 2（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏?m?x?x2x1?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22

左快右慢（极值点左偏?m?x1?x2x?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：

。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题1.8 极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路

值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.

下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法. ★已知f?x??xlnx?12mx?x，m?R．若f?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，22求证：x1x2?e（e为自然对数的底数）．

解法一：齐次构造通解偏移套路

?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1．

于是lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x11?t?lnt?x2又0?x1?x2，设t?，则t?1．因此，lnx1?lnx2?，t?1．

x1t?1要证lnx1?lnx2?2，即证：

?t?1?lnt?2t?1， t?1．即：当t?1时，有lnt?2?t?1?．设t?1 1

2?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1???0， 函数h?t??lnt?，t?1，则h??t???22tt?1t?t?1??t?1?所以，h?t?为?1.???上的增函数．注意到，h?1??0，因此，h?t??h

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

lna?lnb2ln

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

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k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）

笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：

2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b， ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a?b，定义有ab?a?b为a，b的对数平均值，且

lna?lnba?ba?b?，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为

lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?．

先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设

R?a?b?0lna?lnb，则

kln?akl?nb?，

k?1得xabklna?a?klnb?b，构造函数f?x??klnx?x，则f?a??f?b?．由f??x??f??k??0，且f?x?在?0,k?上

平均不等式即ab?k?，在?k,???上，x?k为f?x?的极大值点．对数

a?b?a?b?2k，等价于?，这是两个常规的极值点偏移问题，2ab?k2?留给读者尝试．

证法2（比值代换） 令t?a?1，则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??

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圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦

圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，………①

22c22622 又e?，即2?，所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?， 代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦