最小二乘法拟合误差分析

数学分析,插值和拟合

问题的提出

插值法是利用函数在一组节点上的值， 插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一 个插值函数来逼近已知函数， 个插值函数来逼近已知函数，并要求插值函数P(x) 与已知函数f(x)在节点处满足插值条件 P(xi)=f(xi)(i=0,1,2,...,n)。在实际应用中往往会遇到这 。 种情况：节点上的函数值并不是很精确， 种情况：节点上的函数值并不是很精确，这些函数 值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差， 值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差， 如果插值会保留这些误差，影响精度;另外若要预测 如果插值会保留这些误差，影响精度 另外若要预测 以后某点的函数值,插值的误差也会较大 插值的误差也会较大.为了尽量减 以后某点的函数值 插值的误差也会较大 为了尽量减 少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小， 少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小， 这就提出了曲线拟合的最小二乘法。 这就提出了曲线拟合的最小二乘法。

数学分析,插值和拟合

实例讲解

某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表给出 个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。 的是实际测定的24个纤维样品的

误差理论综述与最小二乘法讨论

摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。

1. 误差的有关概念

对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具

1.1测量基本概念

一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。

直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。

间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。

组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。

1.2误差基本概念

误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y，真值为Y，

基于最小二乘法的状态估计理论及实验仿真分析

北方民族大学

学士学位论文

析

论文题目: 基于最小二乘法的状态估计理论及实验仿真分

院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学 生 姓 名: 专 业: 学 号: 指导教师姓名: 论文提交时间: 论文答辩时间: （不填） 学位授予时间: （不填）

数学与软件科学学院 实验报告 学期：××××至××××第×学期 ×××× 年 ×× 月 ×× 日 课程名称:___计算机数值方法___ 专业: ×× ××级××班 实验编号：03 实验项目 曲线拟合的最小二乘法 指导教师 ：张莉 姓名： 学号： 实验成绩：

一、实验目的及要求

实验目的：熟练掌握最小二乘原理；掌握曲线拟合的最小二乘算法。 实验要求：用一次、二次多项式拟合数据；用一般的经验函数取拟合数据。

二、实验内容

(1) 给出数据如下,分别用一次、二次多项式拟合这些数据，并给出最小平方误差，画出拟合函数图像。 xi yi

-1.00 0.22 -0.50 0.80 0.00 2.00 0.25 2.5 0.75 3.8 (2) 对下列数据用最小二乘法求形如函数图像。 xi yi 0.70 0.99 0.50 1.21 0.25 2.57 的经验公式，画出拟合

0.75 4.23 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1: 实验分析 2：算法流程图 3：程序 4

非线性曲线拟合最小二乘法

一、问题提出

设数据（xi,yi）,(i=0,1,2,3,4).由表3-1给出，表中第四行为lnyi?yi,可以看出数学模型为y?aebx,用最小二乘法确定a及b。 i 0 1.00 5.10 1.629 1 1.25 5.79 1.756 2 1.50 6.53 1.876 3 1.75 7.45 2.008 4 2.00 8.46 2.135 xi yi yi 二、理论基础

根据最小二乘拟合的定义:在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b]，如果f(x)只在一组离散点集{xi,i=0,1,…,m}，上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据{（xi,yi）, i=0,1,…,m}的曲线拟合，这里yi?f(xi)，i=0,1,…,m,要求一个函数y?S*(x)与所给数据{（xi,yi）,i=0,1,…,m}拟合，若记误差

?i?S*(xi)?yi,i=0,1,…,m,??(?0,?1,?，?m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是C[a,b]上线性无关函数族，在??span{?0(x),?1(x),?,?n(x)}中找一函数S*(x)，使误差平方和

?这里

22?????[S(xi)?yi]?min2i*

最小二乘

普通最小二乘法（OLS）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square，简称OLS），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。

在已经获得样本观测值yi,xi（i=1,2, ,n）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型

^

（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为 0和

^

1，并且是最合理的参数估计量，那么直线

方程（见图2.2.1中的直线）

^

^

^

yi 0 1xi i=1,2, ,n (2.2.2)

^

应该能够最好地拟合样本数据。其中yi为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。

n

Q

i 1

(yi 0 1xi)

n

2

i

2

ui Q( 0, 1)

2

Q

0 0, 1 1

2

u i

y

1

i y

y

1

n

i

0 1xi

2

minQ( 0, 1)

(2.2.3)

为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小

最小二乘法及其应用

1． 引言

最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Sti

3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例3.1．1 给出一组数据点(xi,yi)列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.

表3-1 例3.1.1的一组数据(xi,yi)

xi yi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04 解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算f(x)

3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例3.1．1 给出一组数据点(xi,yi)列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.

表3-1 例3.1.1的一组数据(xi,yi)

xi yi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04 解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算f(x)

3.1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例3.1．1 给出一组数据点(xi,yi)列入表3-1中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，作出拟合曲线.

表3-1 例3.1.1的一组数据(xi,yi)

xi yi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6 -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04 解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例3.1.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算f(x)