高中数学几何证明平行垂直

高中数学立体几何平行与垂直练习题

立体几何-平行与垂直练习题

1. 空间四边形SABC中，SO 平面ABC，O为 ABC的垂心， 求证：（1）AB 平面SOC（2）平面SOC 平面SAB

A

C

2. 如图所示，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证： （1） EM 平面A A1C1C; （2）平面A1EC 平面AA1C1C；

A

C

M

B

E

A1

B1

C1

3. 如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为

AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.

4. 设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图, （1）证明PQ∥平面AA1B1B

；（2）求线段PQ的长.

高中数学立体几何平行与垂直练习题

5. 如图,在四棱锥P-ABCD中，AB//DC，AB AD，BC 5，DC 3，PD 面ABCD，

（Ⅰ）当主视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥AD 4， PAD 60．

P ABCD的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM//面PBC．

6. 已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平

新课标立体几何证明题汇总

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 （1） 求证：EFGH是平行四边形

（2） 若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

A B

F C

G D

E H

证明：在?ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四边形EFGH是平行四边形。 22、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。

A E

BC?AC?证明：（1）??CE?AB

AE?BE?同理，

AD?BD???DE?AB

AE?BE?B

C

又∵CE?DE?E ∴AB?平面CDE （2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC， ∴平面CDE?平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

D

3、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

几何画板辅助高中数学教学

浙江省金华市江南中学 朱胜泉

【摘要】“几何画板”是一个动态讨论和研究数学问题的工具，它可以模拟知识的发生过程，可以设计成一种实验课。在数学学科中，利用“几何画板”辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此“几何画板”对发展学生的思维能力，培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学

几何画板为数学教学提供了现代化的手段。它能使几何图形产生动态的变化，以揭示图形内在的联系，创设情境使学生“看到”某些概念的形成过程，把抽象概念形象化，从而有利于学生的理解，提高教学效果。几何画板是数形结合方法的有效平台。它还是一个动态讨论和研究数学问题的工具，对发展学生的思维能力，创新能力有着不可忽视的作用。越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些变化。

1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚

几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以OA为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与x轴的正半轴所成的角）是

几何画板辅助高中数学教学

浙江省金华市江南中学 朱胜泉

【摘要】“几何画板”是一个动态讨论和研究数学问题的工具，它可以模拟知识的发生过程，可以设计成一种实验课。在数学学科中，利用“几何画板”辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此“几何画板”对发展学生的思维能力，培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学

几何画板为数学教学提供了现代化的手段。它能使几何图形产生动态的变化，以揭示图形内在的联系，创设情境使学生“看到”某些概念的形成过程，把抽象概念形象化，从而有利于学生的理解，提高教学效果。几何画板是数形结合方法的有效平台。它还是一个动态讨论和研究数学问题的工具，对发展学生的思维能力，创新能力有着不可忽视的作用。越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些变化。

1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚

几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以OA为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与x轴的正半轴所成的角）是

高中数学选修4-1几何证明选讲专题(广东)

选修4-1：几何证明选讲（0618）

1．(天津卷)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点

P.若PB＝1，PD＝3，则BC

AD

的值为________．

2．(湖南卷)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B两点，已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为______．

3．如图所示，已知PC、DA为⊙O的切线，C、A分别为切点，AB为⊙O的直径，

若DA＝2，CD1

DP2

，则AB＝________.

4．(陕西卷)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以

AC为直径的圆与AB交于点D，则BD

DA

＝________.

5．(广东东莞)如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O 上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.

6．(广东佛山)如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.

7．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC＝2cm，过C的割线CMN交AB的延长线于点D，CM＝MN＝ND，则AD的

两条直线的平行与垂直（2）

教学目标

（1）掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；

（2）理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．

教学重点、难点

掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论．

教学过程

一、问题情境

1．复习：两条直线平行的判断方法：（可结合作业对斜截式方程和一般式方程进行归纳）

2．问题：两条直线平行的位置关系可用斜率来刻画，那么能否用它来刻画两条直线垂直的位置关系呢？

二、建构数学

1．两条直线垂直的判断方法：

若12l l ⊥（12,l l 都不与x 轴垂直）

轴），设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则 12,ST PQ k k PS QR -==， 由于Rt PST Rt PQR ??，∴

ST QR PS PQ = ∴121k k =-，即121k k ?=-，反过来，若121k k ?=-2．结论：（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于1-，反之，如果它们的斜率的乘积等于1-，那么它们互相垂直，即： 12l l ⊥?121k k ?=-（12,k k 均存在）

（2）若两条直线12,l l 中的一条

【中学数学教案】

立体几何

教案

一，空间直线与直线的关系 a ，相交 b ，平行 c ，异面 a ,

相交直线 空间中

平行于同一条直线的两条直线平行 b, 平行公理： c, 异面直线： 1，求异面直线所成角问题 注：利用平

行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角

??

0?090异面直线所成角的范围

, ㈠

平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 CCABDBABCD?B和C 例：正方体中，E，F分别是中点，则直线AE111111

和BF所成角的余弦值 ㈡ 补形法 补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体 ?CAB 例：在直三棱柱中，，点分别是

90DF?ABC,?BCA?11111CCABA

中点，

BC=CA=，则所成角的余弦值 CDF,B与A1111111 1303015A、

B、 C、 D、 2101510 2，求异面直线之间的距离问题 和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线， 公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做

习题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧

?

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD． 1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，

∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1323222设正方体棱长为a，则A1O?a，MO?a．

24922222AM?a 在Rt△AC中，．∵，∴MAO?MO?AM111114AO?OM． ∵OM∩DB=O，∴ AO11⊥平面MBD．

证明：连结MO，

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

?

AD?平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．