插值误差估计式

插值及其误差 x sin x cos x tan x 1.567 0.999 992 8 0.003 796 3 263.411 25 1.568 0.999 996 1 0.002 796 3 357.611 06 1.569 0.999 998 4 0.001 796 3 556.690 98 1.570 0.999 999 7 0.000 796 3 1255.765 59 用表中的数据和任一插值公式求： （1）用tan x表格直接计算tan 1.569 5。

（2）用sin 1.569 5和cos 1.569 5来计算tan 1.569 5。并讨论这两个结果中误差变化的原因。

插值：求过已知有限个数据点的近似函数。 1 插值方法

下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插

值、Hermite 插值和三次样条插值。 1.1 拉格朗日多项式插值 1.1.1 插值多项式

用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数

f?x?在区间?a,b?上n?1个不同点x0,x1,yi?f?xi??i?0,1,,xn处的函数值

,n?，求一个至多n次多项式 ?anxn（1）

?n?x??a0

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

姓名：樊元君 学号：2012200902 日期：2012.10.25

1.实验目的：

掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

2.实验内容：

分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。实验中以下列数据验证程序的正确性。 已知下列函数表

求x=0.5635时的函数值。

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

3.程序流程图：

● 拉格朗日插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

●牛顿插值法流程图：

MATLAB拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式

4.源程序：

● 拉格朗日插值法：

function [] = LGLR(x,y,v)

x=input('X数组=：');

y=input('Y数组=');

v=input('插值点数值=：');

n=length(x);

u=0;

for k=1:n

t=1;

for j=1:n

if j~=k

t=t*(v-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

u=u+t*y(k);

end

disp('插值结果=');

拉格朗日多项式插值法浅析

摘要

拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。“学以致用 ”是每一门学科都致力追求的境界，数学自然也不例外。下面，探讨拉格朗日插值法的基本原理、如何构造拉格朗日多项式、拉格朗日多项式的误差界，并用 MATLAB程序来实现这一数学算法的自动化，为复杂的分析研究提供了一条数学算法的捷径。

【关键词】：拉格朗日多项式 算法实现 MATLAB

在科学研究和实际的工程设计中，几乎所有的问题都可以用y?f(x)来表示其某种内在规律的数量关系。但理想化的函数关系在实际工程应用中是很难寻找 的，对于那些没有明显解析式的函数关系表达式则只能通过实验观察的数据，利用多项式对某一函数的进行逼近，使得这个逼近函数能够反映f(x)的特性，而且利用多项式就可以简便的计算相应的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越

拉格朗日插值多项式

数值计算方法上机报告

学院：计算机与通信学院班级：计算机科学与技术姓名：柴小辉学号：

拉格朗日插值多项式

05级3班 05240326

拉格朗日插值多项式

尽管满足插值条件Pn(xi)=yi (i=0,1,2,…,n) (1) 的n次插值多项式是唯一的，然而它的表达式却可以有多种形式。如果取满足条件

1 i＝k

lk(xi)= (i=0,1,2,…,n) (2) 0 i≠k

的一组n次的代数多项式l0(x)、l1(x)、…、ln(x)作为上述线性空间的基，容易看出

y0l0(x)+ y1l1(x)+ …+ynln(x)=∑yklk(x) (3)

必是一个不高于n次的代数多项式，而且它在节点x0、x1、…、xn 上的值依次是 y0、y1、…、yn也就是说，由n+1个n次代数多项式y0l0(x)、 y1l1(x)、 …、ynln(x)线性生成的多项式（3），就满足插值条件（1）的n次插值多项式。 满足

例5.6.1给定以下数据, 求出三次样条函数，并计算函数分别在-0.15，-0.05，0.05，0.18，0.25处的近似值，并作图。

x y 解：编程如下: clear

x=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72]; pp=spline(x,y); pp.coefs

xx=[-0.15,-0.05,0.05,0.18,0.25]; yy=ppval(pp,xx) %or:yy=spline(x,y,xx) fnplt(pp,'k') hold on plot(x,y,'o') hold on plot(xx,yy,'r*') 运行结果: ans =

-36.3850 21.8592 -5.1164 1.5000 -36.3850 0.0282 -0.7390 1.0600 227.6995 -10.8873 -1.8249 0.9500 -143.0047 23.2676 -1.2059 0.8600 -143.0047 1.8169 0.0484 0.8400 yy =

插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。

一、一维插值

插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点之间任意位置上的函数值。

插值运算在信号处理和图像处理领域应用十分广泛。

1．一维插值函数的使用

若已知的数据集是平面上的一组离散点集(x,y)，则其相应的插值就是一维插值。MATLAB中一维插值函数是interp1。

y=interp([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval])，[]代表可选。 method：'nearest'，'linear'，'spline'，'pchip'，'cubic'，'v5cubic'。

此m文件运行结果：

放大π/2处：

2．内插运算与外插运算

（1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值。 （2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插，要估计外插函数值很难。

MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参数指明也用于

2. 下列数据表示从1790年到2000年的美国人口数据

年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 人口 3 929 000 5 308 000 7 240 000 9 638 000 12 866 000 17 069 000 23 192 000 31 443 000 38 558 000 50 156 000 62 948 000 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 75 995 000 91 972 000 105 711 000 122 755 000 131 669 000 150 697 000 179 323 000 203 212 000 226 505 000 248 710 000 281 416 000

求能够相当好地拟合该数据的动力系统模型。通过画出模型的预测值和 数据值来测试你的模型。

year=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1

实验目的[1] 了解一维插值的基本原理，了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；[2] 掌握用MATLAB计算三种一维插值的方法，并对结果作初步分析；[3]通过实例学习如何用插值方法解决实际问题。[4]通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。提高写作、文字处理、排版等方面的能力。上一页下一页主页主要内容插值基本原理分段线性插值拉格朗日插值插值基本方法三次样条插值用MATLAB作插值计算引言与引例插值方法的比较和总结范例地图绘制问题估计水塔的水流量上一页返回下一页主页引y???????言y??++++x+xy=g(x)（很复杂、或未知或无封闭形式）实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…，ny=f(x)近似表示y=g(x)上一页下一页主页引y???????言y??++++x+x函数f(x)的产生办法：插值和拟合。第一步:适当选择函数的形式；第二步:确定函数的参数。上一页下一页主页

引例：机床加工机翼下轮廓线X=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15yY=0 1.2 1.7 2 2.1 2 1.8 1.2 1

第二章 插值（第1页/共9页）

第二章 函数的插值

1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。

（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差； 解：先作差分表：

xctgx0.0011000.000?500.0010.0020.0030.0040.005499.999?166.667333.332?83.333249.999?50.001199.99833.33283.334?50.002333.334?250199.998

取 x1?0.001,h?0.001,x?0.0015?x1?ph,p?0.5,则由表初公式有：

p(0.0015)?1000?500.001?0.5?333.334?p(p?1)(p?2)(p?3)4!?684.89533281?199.998?又由：(ctgx)(5)p((p?1)p(p?1)(p?2)?250?2!3!

??120sin?6x?120sin?4x?16sin2x,所以误差为：

f(5)(?)ctg(0.0015)?p4(0.0015)?p(p?1)(p?2)(p?3)(p?4)h5?3281.25

5!（2）通过sinx和cosx的函数表进行插值，求ct

最邻近插值和双线性插值算法的比较

摘要：图像缩放是数字图像处理的一个基本内容，为了更好地对数字图像细节进行描述，本文简单介绍了图像处理中的空间变换、最邻近插值算法，重点分析了双线性插值算法，并通过MATLAB仿真进行图像的缩放，比较实验结果，从而验证双线性插值算法效果较好。

关键词：图像缩放；空间变换；最邻近插值；双线性插值；

0 引言

数字图像处理的对象因其涉及到社会的各个领域，倍受到越来越多的关注，而图像缩放作为数字图像处理中的基本操作尤为重要，在社会的很多领域都需要对图像进行放大和缩小。本文主要比较了空间变换、最邻近插值算法和双线性插值算法。

1 图像处理中的空间变换

图像的空间变换[1]，也称几何变换或几何运算，包括图像的平移、旋转、镜像变换、转置、缩放等。几何运算可改变图像中各物体之间的空间关系，这种运算可以跛看成是将各物体在图像内移动。

空间变换可如下表示：设(u，v)为源图像上的点，(x，y)为目标图像上的点，则空间变换就是将源图像上(u，v)处的颜色值与目标图像上(X，y)处的颜色对应起来

(u，v) 并具有以下关系：

x=X(u，v)，y=Y(u，v) （即由(u，v)计算对应(x，y)）