泰勒公式的应用

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

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1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ············································

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

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1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ············································

数学科学学院本科学年论文 泰勒公式的展开及其应用

泰勒公式及其应用

摘要

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。

一、泰勒公式及其余项

1：泰勒公式

对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式，

f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n称为函 Tn(x0)?f(x0)?1!2!n!f(k)(x0)(k?1,2,?,n)称为泰勒数f在点x0处的泰勒(Taylor)多项式,Tn(x)的各项系数

k!系数。

2：泰勒余项

定理1：若函数f在点x0存在直到n阶导数，则有f(x)?T(n)??((x?x0)n)；即

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??((x?x0)n)

泰勒公式与导数的应用

名称 泰 勒 公 式 主要内容 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?(n?1)!介于，称为拉格朗日型余项；或x0于x之间）Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1其中Rn(x)?x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 (n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n2）sinx?x?????(?1)?o(x2n?2) 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx3）cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!6

目 录

摘要 ??????????????????????????????1 英文摘要 ????????????????????????????2 第一章 绪论??????????????????????????3 第二章 泰勒公式????????????????????????5 1.1泰勒公式的意义 ????????????????????????5 1.2泰勒公式余项的类型???????????????????????5 1.3泰勒公式 ???????????????????????????6

第三章 泰勒公式的实际应用 ??????????????????7 2.1利用泰勒公式求极限 ??????????????????????7 2.2利用泰勒公式进行近似计算 ???????????????????8 2.3在不等式证明中的应用 ?????????????????????9 2.4泰勒公式在外推上的应用 ????????????????????10 2.5求曲线的渐近线方程 ??????????????????????11 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用????????????13 2.7在广义

本科毕业论文

论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名：王子贺 学专

号：201100810613 业：数学与应用数学(金融与金融工程方向)

指导教师：崔振 学 院：数学科学学院

1 2015年 04月 20日

1

毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计） 题 目 选题时间 高等数学中的数形结合思想 论文（设计） 字数 2014、12 完成时间 2015、5 关 键 词 泰勒公式 应用 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。同时泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式，求初等函数的幂级数展开式,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点等方面都有着重要应用。为此，本文将对泰勒公式做出详细的介绍，在此基础上简述泰勒公

摘要 ................................................................................................................................................. 1 Abstract ........................................................................................................................................... 1 1.前言 .............................................................................................................................................. 1 2.预备知识 ......................................................................

ythb

现代商贸工业

第２０卷第２期

ＭｏｄｅｒｎＢｕｓｉｎｅｓｓＴｒａｄｅＩｎｄｕｓｔｒｙ

２００８年２月

应用泰勒公式解题的思路探讨

董烈勋

（武汉科技大学中南分校数学教研室，湖北武汉４３００００）

摘要：提出如何利用泰勒公式采分析函数性态，确定可导函数的极值点和曲线的拐点的方法．以及求证某些等式和不等式的思路．

，关键词：泰勒公式；极值点；拐点；等式；不等式；极限中图分类号：Ｇ６３３．６２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２—３１９８（２００８）０２—０２０１—０１

ｌ

函数极值点与拐点的判定

设函数，（力在点Ｘ０的某邻域内具有行阶连续导数，且

从而，（Ｘ１）＋八Ｘ１）＜２，（ｚ）＋／（ｚ）（Ｘｌ＋．ｒｌ一２ｚ）＝

‘

２ｆ（力

厂（ｚｏ）一厂（ｘｏ）＝…＝，一一１）（ｘｏ）＝０，ｆ－＞（ｚｏ）≠ｏ，（恕≥

２），则；

（１）当ｉｔ／为偶数时，ｘｏ为，（ｚ）的极值点．

（２）当以为奇数时，则点（ｘｏ，ｆ（ｘｏ））为曲线ｙ；，（ｚ）的拐点．

证明：

（１）（咒为偶数），因为∥靠）（ｘｏ）≠０，不妨设∥一）（ｚｏ）＞０。由于，一’（ｚ）在Ｘ０处连续，即ｌｉｍｆ＿（一）＝∥”）（ｚｏ），根据极限的保号性，存在ＸＯ的某个去心邻域Ｕ（ｚｏ，ｄ），当ｚ∈Ｕ（ｚｏ，占）时，∥一，＞ｏ。那么对于

列谈泰勒公式的应用

摘要：在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。本文利用泰勒公式这个特点，简单的介绍了无理数的近似方法，以及求极限的方法。

关键词：泰勒公式；应用；无理数；求极限

列谈泰勒公式的应用

【预备知识】：

泰勒公式：

设f(x)在x0处存在n阶导数：

f(x)''f(n)(x)2Tn(x)?f(x0)?f(x)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n

2!n!'Rn(x)?f(x)?Tn(x)?f(x)?Tn(x)?Rn(x)

一、用泰勒公式近似无理数：

f''(x)f(n)(x)2fn(x)?f(x)?f(x)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n利用 2!n!'（公式1）

近似以下无理数：

1.1 x(0?x?3)的近似：

n?令f(x)?(1?x)?，并且记c??(??1)?(??n?1)n!则可求得：

122nn(1?x)??1?c?x?c?x???c?x??

特殊的，当??时，(1?x)??1?x，于是就有

(?1)(?1)31

毕业论文

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内容摘要 ............................................... 1 关键词 ................................................. 1 1.引言 ................................................ 1 2.泰勒公式 ............................................. 1 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 .......................... 1 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 .......................... 2 2.3带有积分型余项的泰勒公式 ............................ 2 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 ............................ 2 3.泰勒公式的应用 ....................................... 3 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 .......................... 3 3.2利用泰勒公式判断