双变量不等式恒成立问题

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，（1）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0；（2）f(x)?0在x?R上恒成立?a?0且??0。 类型2：设f(x)?ax2?bx?c(a?0)

b?b??b??????????????（1）当a?0时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a， 或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0?f(?)?0 f(x)?0在x?[?,?]上恒成立???f(?)?0?f(?)?0a?0（2）当时，f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??

f(?)?0?b?b??b?????????????? f(x)?0在x?[?,?]上恒成立??2a或?或?2a2a???f(?)?0????0?f(?)?0类型3：

f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)min??f(x)??对一切x?I恒成立?f(x)max??。 类型4：

f(x)?g(x)对一切x?I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min?g(x)max(x?

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题

在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：

一、构造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式

对任意的

都成立，求的取值范围.

例2：在R上定义运算?：x?y＝x(1－y) 若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( ) (A)－10对满足0?x?1的所有实数x都成立，求m的取值范围。

二、分离参数法

在题目中分离出参数，化成a>f(x) （afmax(x) （a

例5：设a0为常数，数列｛an｝的通项公式为an＝

*

1nn-1nnn*

[3+(-1)·2]+(-1)·2·a0(n?N )5若对任意n≥1，n?N，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。

例6．（2012?安徽模拟）若不等式x2

第 课时

一、课题

不等式中恒成立问题的解法研究 二、高考要求

不等式中的恒成立问题，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

三、目的与要求：

四、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序

用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:

（1）恒成立问题

若不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最小值大于A,

若不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最大值小于B.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,即f x A在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最大值大于A,

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,即f x B在区间D上能成立, ,则等价于函数

第 课时

一、课题

不等式中恒成立问题的解法研究 二、高考要求

不等式中的恒成立问题，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

三、目的与要求：

四、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序

用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:

（1）恒成立问题

若不等式f x A在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最小值大于A,

若不等式f x B在区间D上恒成立,则等价于函数f x 在区间D上的最大值小于B.

（2）能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,即f x A在区间D上能成立, ,则等价于函数f x 在区间D上的最大值大于A,

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,即f x B在区间D上能成立, ,则等价于函数

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

联系电话:15166630349 邮箱:649265828@

以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

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以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元

含参不等式恒成立问题例析

廖东明

含参不等式恒成立问题是高考的热点问题，此类问题灵活多变，综合性强，不少学生望而生畏．理解问题的本质，掌握解决的方法，多练习几道此类试题，就能增强解决此类问题的信心．

一、已知参数范围求自变量的求值范围

例1 对任意[2,3]a ∈-，不等式2(6)930x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围．

分析：参数a 是一次的，变量x 的最高次数为二次，采用变更主元法，构造关于a 的一次函数()g a 建构不等式组获解．另外，参数a 可以分离，也可以利用分离参数法求解．

解法 1 构造函数2()(3)69g a x a x x =-?+-+，则问题转化为()0g a >对任意[2,3]a ∈-恒成立．若3x =，则()0g a =，不符合题意．所以3x ≠，则问题等价于

(2)0(3)0g g ->??>?，即22815030

x x x x ?-+>??->??，解得0x <或5x >，所以(,0)(5,)x ∈-∞+∞． 解法 2 不等式2(6)930x a x a +-+->即2(3)(3)x a x -?<-对任意[2,3]a ∈-恒成立．显然30x -≠．若3x <，则3a x <-即3x a

已知函数f(x)?x?ax?bx?a（a、b?R）

1.若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值

2.若对任意a∈[-4,+∞),f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值

解：（1）由f(x)?x?ax?bx?a， 得f'(x)?3x?2ax?b

由 函数y?f(x)在点x?1处有极值10 可得以下3条信息（第<3>条作为验证用）： <1>： 函数在x?1处的导数为0，故 3?2a?b?0； <2>：函数在x?1处的函数值为0，故 1?a?b?a?10， 由以上两式整理可得 ?23222322???a?3??a?4??0

??b??3?2a解得 ??a??3?a?4，或 ?

b?3b??11??若 ??a??322， 则 f'(x)?3x?6x?3?3?x?1?在R恒大于等于0，

?b?3可见 y?f(x)在R上为单调递增函数，尽管在x?1处导数为0，但x?1并不是极值点）【——这就是第<3>条信息：可以解释成<3>：方程f'(x)?3x?2ax?b?0必须有两个不相等的根，这两个根，才分别都是极值点。如果两个根相等，则（都）不是极值点。】 ．．．所以 只有?2?a?4符合要求，

?b??11即 b??11

（2）对于任意的a???4,

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，

含参不等式恒成立问题的求解策略

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有

1）f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0

2）f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.

?例1．已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R，求实数a的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立，即有

??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。

若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，