射影几何梅涅劳斯

第一章涅劳斯定理及应用

【基础知识】

梅涅劳斯定理 设A?，B?，C?分别是△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若A?，B?，

BA?CB?AC?C?三点共线，则 ① ???1．

A?BB?AC?BAB′C′C′B′ABCA′D图1-1BCDA'

证明 如图1-1，过A作直线AD∥C?A?交BC的延长线于D，则 CB?CA?AC?DA?，，故 ??B?AA?DC?BA?BBA?CB?AC?BA?CA?DA???????1． A?CB?AC?BA?CA?DA?B注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法．

正弦定理证法 设∠BC?A???，∠CB?A???，∠B?A?B??，在△BA?C?中，有

BA?sin??，同理，C?Bsin?CB?sin?AC?sin??，，此三式相乘即证． ?CA?sin?AB?sin?BA?S△A?C?BCB?S△CB?C?S△CA?B?S△CB?C??S△CA?B?S△C?CA?AC?S△AC?A???????面积证法 由，，，此三A?CS△A?C?CB?AS△B?AC?S△A?AB?S△B?AC??S△A?ABS△AC?A?C?BS△C?BA?式相乘即证．

梅涅劳斯定理的逆定理 设

初中数学竞赛考点

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000

一、 梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：

如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：

AMBNCK

1。 MBNCKA

证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E，

则有：

AMAKBNBE

， ， MBBENCCK

AMBNCKAKBECK 1 ∴

MBNCKABECKKA

对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点 分点 ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶

分点 顶点

点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。

二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子

题目：在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP.

先给出高中常规解

初中数学竞赛考点

巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000

一、 梅涅劳斯（Menelaus）定理简介：

如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则：

AMBNCK

1。 MBNCKA

证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E，

则有：

AMAKBNBE

， ， MBBENCCK

AMBNCKAKBECK 1 ∴

MBNCKABECKKA

对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点 分点 ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶

分点 顶点

点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。

二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子

题目：在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP.

先给出高中常规解

前 言

射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。

1.完全四点(线)形的定义及性质 1.1 完全四点形的定义

定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。

定义1′ 完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点

第23章 角元形式的梅涅劳斯定理

第一角元形式的梅涅劳斯定理设A?、B?、C?分别是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A?、B?、C?共线的充要条件是 sin?BAA?sin?ACC?sin?CBB????1

sin?A?ACsin?C?CBsin?B?BABA?S△ABA?AB?sin?BAA???证明如图23-1，由， A?CS△AA?CAC?sin?A?ACAC'B'BC图23-1A'

CB?BC?sin?CBB?， ?B?AAB?sin?B?BAAC?AC?sin?ACC?． ?C?BBC?sin?C?CB这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．

第二角元形式的梅涅劳斯定理设A?、B?、C?分别是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点，点O不在△ABC三边所在直线上，则A?、B?、C?三点共线的充要条件是 sin?BOA?sin?COB?sin?AOC????1．

sin?A?OCsin?B?OAsin?C?OBsin?BOA?证明如图23-2．注意到

sin?A?OC及

AC'BBC图23-2OA'

??SBA?OCBA?nis?COB?（其中△BOA??）， ??S△A?OCA?C

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

摘要 拉斯蒂涅和于连都是世界文学史上“不择手段出人头地”的典型形象。他们为了一个共同的人生目标，不择手段的以不同的方式演绎着各自的人生。最终，拉斯蒂涅实现了自己的人生理想，于连却以他平民孤傲的姿态走上了灵魂的祭坛。本文从两个人物生平、思想、遭遇、结局四个方面进行分析比较。

关键词：拉斯蒂涅 于连 人生理想 比较 中图分类号：i106 文献标识码：a

法国著名现实主义作家巴尔扎克的长篇小说《高老头》中的主人公拉斯蒂涅，和法国著名批判现实主义作家司汤达的长篇小说《红与黑》中的主人公于连，都是世界文学史上“一心想出人头地”、“进入上流社会”的杰出的艺术典型。他们是“既才华横溢又卑鄙无耻，既聪明又狡猾，既崇高又卑鄙，既诚实又虚伪的复杂性格的复合体”。19世纪30年代，批判现实主义文学不断发展。在这一思潮中，产生了许多伟大作家和作品，从而出现了一批不朽的人物形象。本文要介绍的是于连与拉斯蒂涅这两个人物形象之间的相异之处。 他们生活在同一个时代――法国王政复辟时代，但他们之间存在许多不同之处，我们可以从生平、思想、遭遇以及结局四个方面来认识比较。

一 生平

从生平来看，于连是王政复辟

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陈振乾 博士 Zhenqian Chen, Ph.D. 美国供热制冷空调工程师学会会员 ASHRAE Member 劳特斯空调技术总监 CTO of LOTUS AC

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YZP731116

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注册 2009-4-21

状态离线 #1发表于 2010-12-8 21:10 资料短消息

《埃涅阿斯纪》的思想内容及艺术特色。

思想内容:史诗通过主人公的经历证明罗马人是神的后裔，颂扬了帝国的神圣和先王建国的艰辛。通过他游地狱的情节，歌颂了凯撒和吴大维的功绩，肯定了罗马帝国统治世界的使命，具有鲜明的政治倾向性。

艺术特色:

1、作为第一部文人史诗，埃尽管在某些方面与荷马史诗有很大的相似性，如整体布局和结构安排上的模仿，大量的比喻、重复、对比手法的运用等。

2、就本质而言，埃

比较分析于连与拉斯蒂涅的人物形象

衢州学院 邹诚裔

十九世纪法国著名作家司汤达和巴尔扎克分别写出了他们的著作《红与黑》和《高老头》。而于连和拉斯蒂涅这两个人物形象分别是《红与黑》和《高老头》两部现实主义著作的产物。同是波旁王朝复辟的历史时期，两位青年知识分子探寻自己的前途，追求自己的目标，试图爬上上流社会。

两个人物的相同点：

两个人物形象都是在阶级更替时期试图从社会底层走向上层社会的青年才俊，在他们个人奋斗的过程中有不少相同点：首先于连和拉斯蒂涅都是有知识、有能力的青年。于连精通拉丁文，且有超常的记忆力，轻