一阶线性常微分方程的求解

浙江省精品课程--高等数学AⅠ教案（同济六版）2013----------宁波工程学院

补讲2 常数变易法、可降阶方程

1、主要教学目标

1、一阶线性微分方程的标准形式及其解法；

2、三种可降阶微分方程的解法；

2、重点内容

1、一阶线性微分方程的解法及解的结构； 2、常数变易法；

3、三种可降阶微分方程的解法。 3、难点分析

1、用变量代换将伯努利方程转化为线性方程并求解； 2、常数变易法、用变量代换法求解微分方程。 4、对教材的处理及其教学提示

微分方程求解重在掌握思想方法，积分运算不宜过难，淡化伯努利(Bernoulli)方程的标准形式及其解法

5、作业布置P315-1（1）； 2（1）；3； P323-1（1、5、7）；4

一、线性方程

?P(x)dx. 1、通解公式 y?Ce?2、非齐次线性方程的解法----常数变易法

实质: 未知函数的变量代换。新未知函数u(x)?原未知函数y(x),

?P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?u(x)[?P(x)]e?, 作变换y?u(x)e?，求导 y??u?(x)e??P(x)dxP(x)dx?Q(x),积分得 u(x)??Q(x)e?将y和y?代入原方程得u?(x)e?dx?C,

3、

辽宁工程技术大学

数 学 建 模 课 程 成 绩 评 定 表

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

数学建模

一阶常微分方程模型—人口模型与预测

一．摘要：

二．模型的背景问题描述

三．模型假设

四.分析与建立模型

下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t 0），

N0 101654万人，Nm 200000万人。

要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。

赵常新 魏文楷 潘洋 一阶常微分方程模型—人口模型与预测

（4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。

模型一：指数增长模型（马尔萨斯（Malthus）模型）

假设：人口净增长率r是一常数

符号：x(t) t时刻时的人口，可微函数x0 t 0时的人口 则r

x(t t) x(t)

x(t) t

dx

于是x（t）满足如下微分方程： dt rx

x(0) x0解为：x(t) x0ert 模型二：Lo

一阶线性微分方程教学中的一点体会

摘要：通过对一个一阶线性微分方程组的求解，既让学生能够掌握简单的一阶线性微分方程组求解方法，又可以让学生较好地体会到《线性代数》课程的重要性。

关键词：一阶线性微分方程组；特征值；特征向量；线性变换 中图分类号：g642.1 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）19-0168-01

本学期，由于课程设置的调整，部分新生第一学期就开始学习《线性代数》这门课程了。在和他们交谈的过程中，部分学生反映这门课程没有什么作用，内容上主要是一些具体的运算，比如：计算行列式的值，计算矩阵的和、积、逆，求方阵的特征值、特征向量以及将方阵对角化等等。好像与实际应用一点关联也没有。 事实上，《线性代数》是一门非常重要的课程，其在很多专业课程中都有广泛的应用，只是学生没有认识到这一点。因此，我们有必要选择一些较为合适的例题，通过这些例题的讲解，既能够让学生易于接受，又可以让学生认识到《线性代数》课程的重要性，从而更好地激发他们的学习热情。为此，在一阶线性微分方程的教学当中，可以通过下面这个例题的讲解来达到我们的目的。 例：求一阶线性微分方程组

■=-x1（t）+2x2（t）■=3x1（t）-2x2（t） （1）

《数学实验》报告

实验名称 常微分方程的求解 学 院 专业班级 姓 名 学 号

2013年5月

一、 【实验目的】

1. 学习在MATLAB中如何求解微分方程的方法；

2. 掌握基本的微分求解命令，学会结合学过的基础知识求解方程； 3. 熟练运用基本的解法即数值解法解微分方程； 4. 注意不同方法下求得微分方程的优缺点。

二、 【实验任务】

xsinxy?1. 求解微分方程为cosy。

''y2. 用数值方法求解下列微分方程，用不同颜色和线形将y和画在同一个

图形窗口里：

y?ty?y?1?2t初始时间：t0=0;终止时间：tf

三、 【实验程序】 1.

y=dsolve('Dy=x*sinx/cosy','x') 2.

定义的程序：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t);

主程序：

2

'''

=?;初始条件：y|t?0?0.1 y

Review 常系数齐次线性ODE的特征解法x(n)n

+ a1 x

( n 1)

λ + a1λ特征根 重数

n 1

+ L + an 1 x′ + an x = 0

+ L + an 1λ + an = 0.线性无关解 λt

λ (实) λ (实)

1kλt αt

e

e ,te , , t Lαt αt αt

λt

k 1 λt

e

α ± iβ

1k

e cos β t , e sin β t e cos β t , te cos β t ,L , t e cos β t , eα t sin β t , teα t sin β t ,L , t k 1eα t sin β tk 1 α t

α ± iβ

常系数非齐次线性ODE的待定系数法

x ( n ) + a1 x ( n 1) + L + an 1 x′ + an x = f (t ) f (t ) special solution x(t )

q (t )t k eλt , q real polynomial, p (t )e , λ ∈ deg(q ) ≤ deg( p ), p real polynomial, k = multiplicity of λ as an

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法

一 公式解法

目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:

y''?ay'?by?f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为

y''?ay'?by?f(x) (1) 这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程

k2?ak?b?0 (2)

对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根k1、k2。则方程(1) 可以写成 y''?(k1?k2)y'?k1k2y?f(x)

第二节

一阶线性偏微分方程的解法

一、线性偏微分方程 1、线性算子 算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上便产 生了另外一个函数。 2 2 3 2 例如，L 3 及M 2 x 2 2 x x y y x y都是偏微分算子。 u 2u 3u 将其作用于函数u便有：L[u ] 3 x x y y2 2u u 2 M [u ] x 2015/10/13 x 2 y 2

u 2u 3u 于是偏微分方程 3 f ( x, y)便可简单 x x y y记为L[u ] f 或Lu f .

算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中，a, b为常数；u, v为函数，则称L为线性算子。

2015/10/13

2.线性微分方程解的叠加原理

定理1:若u1 , u2 ,..., un是某个线性齐次微分方程L[u ]=0 的解，则 ci u i 也为此方程的解。(ci 为任意常数)i 1 n

定理2:若ui 是L[u ] fi (i 1, 2,...)的解，且 ciui收敛，i 1

则u ci ui 是L[

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

非线性方程和常微分方程的解法

实验8 非线性方程和常微分方程的解法

一、实验目的

学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求

1. 非线性方程的整值解

（1）最小二乘法

格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

>>fc=inline(‘x-exp(-x)’);

>>xl=fsolve(fc,0)

xl=

0.5671

问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？

先用命令fplot（’5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5*x^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：

>>fun=inline(’5*x^2*sin(x)-exp(-x)’);

>>fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)

得出结果：

ans=

0.5918 3.1407 6.2832 9.4248

【例 1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2co

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

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u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy