福师大初等数论作业答案

《初等数论》网络作业1

1、证明整数???能被1001整除。 50个0证明：利用公式：若n是正奇数，则a?b?(a?b)(a51317nnn?110?01?an?2b???abn?2?bn?1)

33163153∴10?01?10?1?(10)?1?(10?1)[(10)?(10)???10?1] ??? 50个0∴ 103?1?1001能够整除10?01??? 50个0

2、若n是奇数，证明8|(n2?1)。

证明：设n?2k?1,k?Z，则n2?1?(2k?1)2?1?4k(k?1)

∵ k，k＋1中必有一个是偶数 ∴ 8|(n2?1)

3、设正整数n的十进制表示为n?ak?a1a0，其中0?ai?9,0?i?k,ak?0，且

S(n)?ak?ak?1???a1?a0，证明9|n的充分必要条件是9|S(n)。

证明：∵ n?ak?a1a0?ak?10k???a1?10?a0k，

S(n)?ak?ak?1???a1?a0

∴ n?S(n)?ak?(10?1)???a1?(10?1) 对所有的0?i?k，有9|(10i?1) ∴ 9|(n?S(n))

∴ 9|n的充分必要条件是9|S(n)

4、设r是正奇数，证明对任意的正整数n，n?2不能

高等教育出版社《初等数论》答案

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m p mn + pq，则m p mq + np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >n，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 + p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

ww

w.

第 4 节

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，y∈Z，17 2x + 3y，证明：17 9x + 5y。

5. 设a，b，c∈N，c无平方因子，a2 b2c，证明：a b。

32n 1

6. 设n是正整数，求C12n,C2n,L,C2n的最大公约数。

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a + b)[a, b] = a[b, a + b]。

4. 求正整数a，b，使得a + b = 120，(a, b) = 24，[a,

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?

初等数论考试试卷

一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x为实数，?x?为x的整数部分，则( A ) Ａ．?x??x??x??1； Ｂ．?x??x??x??1； Ｃ．?x??x??x??1； Ｄ．?x??x??x??1． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数a1,a2,Ｂ．整数a1,a2,,an的公因数中最大的称为最大公因数；

,an的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】

Ｃ．整数a与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a与它的绝对值有相同的约数

3．设二元一次不定方程ax?by?c（其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解

x0,y0,d??a,b?，则此方程的一切解可表为( C )

at,y?daＢ．x?x0?t,y?dbＣ．x?x0?t,y?dbＤ．x?x0?t,y?dＡ．x?x0?bt,t?0,?1,?2,; dby0?t,t?0,?1,?2,;

day0?t,t?0,?1,?2,;

day0?t,t?0,?1,?2,;

d4．下列各组数中不构成勾股数的是( D )

y0?Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不

初等数论第四次作业

证明题

1．设均为整数，而且a b c d是奇数。证明：a，b，c，d中至少有一个是奇

数。

证明：如果a，b，c，d都不是奇数，则都是偶数。因此a b c d是偶数。这

与条件矛盾！

因此，其中至少有一个是奇数。进一步可知，这4个数中只有1个或3个奇数。

2．设x，y均为整数。证明：若5|x 9y，则5|8x 7y。

证明：∵5∣（X+9Y）

∴5∣3（X+9Y），即5∣（3X+27Y）①

又Y为整数，∴5∣25Y ②

由①②可知：5∣[（3X+27Y）-25Y]，即5∣（3X+2Y）③

∵X，Y为整数 ∴5∣5（X+Y）④

由③④可知：5∣[（3X+2Y）+5（X+Y）]

即 5∣（8X+7Y）

3．证明：若a|c，b|d，则ab|cd。

证明：由a︱c，b︱d知存在整数p,q使得c ap,d bq,所以cd apbq abpq，因为pq为整数，所以由整除的定义知ab︱cd。

4．证明：若n为自然数，求证9n+1 8n+9(mod 64)。

证明：国为9 1(mod8)，所以9 1(mod8),k 2,3, ,n 1,

于是9n 1k 92 9 1 n(mod8),所以9(9n 1 92 9 1) n(mod8),

n 1从而9 (9 1) (9

初等数论练习题答案

原点教育培训学校

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 103??

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同

初等数论练习题答案

原点教育培训学校

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 103??

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同