最优化理论与方法线性规划

第35卷第1期2005年1月

数学的实践与认识

Vol.35　No.1　

Jan.,2005　

确定线性规划全部最优解的方法

薛声家,　左小德

(暨南大学管理学院,广东广州　510632)

摘要:　使用凸多面体的表示定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,并基于单纯形法,给出最

优解唯一性条件以及当唯一性条件不满足时求出全部最优解的计算步骤,同时附有数值例子.

关键词:　线性规划;凸多面体;最优解;单纯形法

一般说来,实际上的经济管理问题所形成的线性规划的最优解给出了该实际问题的最佳实施方案.当线性规划有不止一个最优解时,便存在无穷多个最优解,求出线性规划的多个最优解是件很有意义的工作,因为它可以提供更多的最优方案供决策者选择.目前虽有不少文献对线性规划无穷多个最优解的情况进行了讨论,但有些存在错误和缺陷[1,2],另一些则讨论得不够完整、深入,缺乏详细有效的求解方法.本文使用凸多面体的表示(分解)定理,导出了标准型线性规划最优解的一般表达式,给出确定全部最优解的计算步骤,并附有数值例子.

1　线性规划最优解的一般表达式

考虑标准型线性规划问题:

Maxz=cTx

(SLP)s.t.Ax=b

xE0

　　其中,A为m×n阶矩阵,c和x为n维列向量,b为m维列

《最优化理论与方法》复习内容要求和题型

一、复习内容要求

1、最优化问题及其分类，最优解的相关概念，最优化问题的算法的一般迭代格式及其收敛性和停止准则。

2、建立一个实际最优化问题的数学模型的思想和方法，包括线性规划、非线性规划、动态规划及多目标规划模型。

3、掌握单纯形法的理论依据、基本思想和最优性检验定理，熟练用大M法和两阶段求解线性规划问题，特别是构造的新问题与原问题的解的关系。

4、了解内点法的基本思想，掌握线性规划和0-1规划问题的计算机求解方法。

5、知道解决特殊线性规划问题的解法（含分支定界法、隐枚举法、表上作业法和匈牙利法）的思想方法。

6、了解非线性规划问题及数学模型，了解非线性规划的相关概念及理论，知道非线性规划的最优性条件。

7、掌握一维搜索的黄金分割法（0.618法）与Fibonacci法，知道二分法，特别注意这些算法的适用条件。

8、掌握最速下降法、牛顿类算法、FR共轭梯度法的算法步骤，并熟练使用它们求解多维无约束非线性规划，特别注意这些算法的异同点及它们与一维优化的关系。

9、了解惩罚函数法的算法思想，熟练掌握用内、外点法求解多维约束非线性规划问题，特别注意它们的异同点及适用条件。

10、了解乘子法的算法思想，熟练

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。

运筹学

课程案例分析

设计题目：

线性规划问题的食品搭配最优方案

专业金融学

班级金融112

学生卢雪贞

学号

-可编辑修改-

。

2012—2013 年第1 学期

目录

一．摘要............................................... 错误!未定义书签。

1.问题的提出.................................................................................................... 错误!未定义书签。

2.关键字............................................................................................................ 错误!未定义书签。二．正文............................................... 错误!未定义书签。

1.研究背景......................................................................................

第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析

主要内容 讲授重点 讲授方式

对偶问题、对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析、参数规划 对偶基本性质、对偶单纯形方法、灵敏度分析 讲授式、启发式

本章知识结构图

对偶问题灵敏度分析对偶单纯形法参数线性规划基本性质影子价格解的关系 第一节 线性规划的对偶问 题

一、对偶问题的提出

首先通过实际例子看对偶问题的经济意义。

例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产两种家电产品时，其线性规划问题为： (LP1) max z＝2xl+x2

现从另一角度提出问题。假定有另一公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付出多大代价，才能使美佳公司愿意放弃生产活动，出让自己的资源。显然美佳公司愿出让自己资源的条件是，出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。设分别用y1、y2、和y3代表单位时间(h)设备A、设备B和调试工序的出让代价。因美佳公司用6小时设备A和1小时调试可生产一件家电I，盈利2元；用5小时设备A，2小时设备B及1小时调试可生产一件家电Ⅱ，盈利1元。由此y1，y2，y3的取值应满足

（一）线性规划

案例分析1

例1.10 飞乐公司经营一个回收中心，专门从事用三种废弃原材料C、P、H混合调出三种不同规格的产品ABD。根据混合时候各种材料的比例，可将该产品分为不同的等级（参照表1.12）。尽管在混合各种等级产品时允许一定的机动性，但每一等级产品中各种材料的最大值和最小值必须符合下面质量标准的规定（最大值和最小值是根据该材料的重量在该等级产品总重量中的比例来确定的）。在两种较高等级的产品中，有一种特定材料的比例是固定的。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1.12和表1.13，问该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？ 表1.12

产品名称 Ａ B D

规格要求 原材料C不少于５０％ 原材料Ｐ不多于２５％ 原材料C不少于２５％ 原材料P不多于５０％

不限

单价（元／kg）

50 35 25

回收中心可以从一些渠道定期收集到所需的固体废弃物，因此，可以获得维持稳定作业的处理量。表1.13给出了中心每天可以收集到每种材料的数量和原材料单价。

表1.13

原材料名称

C P H

每天最多供应量（kg）

100 100 60

单价（元／kg）

65 25 35

飞乐公司是绿地组织的全资公司，绿地组织

机械工程学院工业工程专业

学号： 姓名：

线性规划问题建模与求解

一．实验目的

1． 掌握线性规划问题建模基本方法。

2． 熟练应用Excel“规划求解”功能对线性规划问题进行建模与求解。

3．掌握线性规划问题的对偶理论和灵敏度分析。

二．实验设备 硬件：PC机。

软件：Microsoft Excel。

三．实验内容

1．建立线性规划问题的数学模型。

2．利用Excel“规划求解”功能对线性规划问题进行建模与求解。 3．根据实验优化结果，进行灵敏度及经济分析。

四．实验步骤

某出版单位有4500个空闲的印刷机时和4000个空闲的装订工时，拟用于下列4种图书的印刷和装订。已知各种书每册所需的印刷和装订工时如表2所示。

表2 印刷和装订工时数据表

工 序 书 印刷 装订 预期利润（千元/千册） 问：

①该出版单位为了实现利润最大化，如何安排4种图书的生产？ ②该单位是否愿意出50元的加班费，让工人加班1小时？

③由于管理工作的进步，使得第1种产品成本每件下降0.2元，此时得最优生产方案是否有变化，总利润是多少？

④出版第2种书的方案之一是降低成本，若第2种书的印刷加装订成本合计每册6元，则第2种书的成本为多少时，

线性规划中的整点问题求解方法

线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用。新教材中增加了线性规划的内容，充分体现了数学的实际应用，发展了学生的数学应用意识。由于实际问题中线性规划问题的最优解多为整数解，也是学生学习线性规划的难点，因而求线性规划的整数最优解的方法就显得尤为重要了。但教材中对此类问题却一带而过，对于具体的验算过程并没有作必要的描述，以致学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。

例1：

要将两种大小不同的的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示，今需要A、B、C三种规格的成品分别为15，18，27

且使所用钢板张数最少。

解：设需要截第一种钢板x张，第二

2x y 15 x 2y 18

张钢板y张，则 x 3y 27，作出可行

x 0 y 0

域（如图所示）,目标函数为z x y出在一组平行直线x y t中（t为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线x 3y 27和直线2x y 15的交点A(,于

1839572

)，直线方程为x y 11，由5555

18391839

和都不是整数，而最优解(x,y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点 A(,)5555

针对现行土地资源优化配置过程中线性规划方法的不足,尝试用灰色线性规划方法进行土地资源优化配置研究,并在分析新疆兵团农十师土地利用现状的基础上,结合该师社会经济发展需求和有关规划控制指标,借助灰色线性规划模型和层次分析法(AHP法)求解2010年农十师土地利用结构优化数据,最终找出符合社会、经济和生态三效益的土地资源优化配置方案。

维普资讯 http://www.77cn.com.cn

第 2卷 5

第4期

20 0 7年 8月

石河子大学学报 (自然科学版 ) Junl f h ei n esy N trl cec ) o ra o S i z U i ri ( a a S i e h v t u n

Vo . 5 No. 12 4 Au g.2 0 07

文章编号： 0—33 20 )4O4一5 1 778 (0 70一 O0 0 4

基于灰色线性规划土地资源优化配置研究李丽红，李鲁华马松梅周一，一，丽(新疆兵团绿洲生态农业重点实验室，疆石河子 8 20; 1新 30 3 2石河子大学农学院，疆石河子 820 )新 303摘要：针对现行土地资源优化配置过程中线性规划方法的不足，试用灰色线性规划方法进行土地资源优化配置尝

研究，并在分析新疆兵团

第四章 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的

线性规划问题与之对应，反之亦然。

2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。

﹡－

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y= CBB1。

﹡﹡﹡﹡

8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX= Yb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。

﹡﹡﹡

10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX=Y*b。

11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条