高一数学函数定义域和值域求法

1.1 函数定义域

通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。

一、常规型

其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。

注：

1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量x的集合称为函数的定义域。

2、求函数的定义域的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

类型1、含分式的函数

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：

（1）分式的分母一定不能为0； （2）绝对不能先化简后求函数定义域。 例1、求下列函数的定义域

（1）f(x)

1

x 2

解：要使函数有意义，必须：x 2 0,即x 2. ∴函数f(x)

1

的定义域是： x|x 2 x 2

x2 1

（2）f(x)

x 1

类型2、含偶次根式的函数

（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间

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定义域的求法

一、 含分式的函数

在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

x2 1例1 求函数f(x)={ EMBED Equation.3 |的定义域． x 1

二、 含偶次根式的函数

注意（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.

例1 求函数y＝（a为不等于0的常数）的定义域.

三、 复合型函数

注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.

例1 求函数y＝＋的定义域．

练习

1、求下列函数的定义域。⑴y=

⑵y=

（3）y=

（4）y=

（5）

四、抽象函数

（一）

、已知

其解法是：若

的定义域，求的定义域为

，则

的定义域，

中

，从中解得的取值范围即为 1

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的定义域。

例1. 设函数（1）函数

（2）函数的定义域为，则 的定义域为________。 的定

函数的定义域、值域练习题

精品 1、求下列函数的定义域：

⑴y =

⑵y =

⑶01(21)111

y x x =+-++- 2

_ _ _；

域为________；

3、若函数(1)f x +

(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x

+的定义域为 。

4、

知 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

5、 求下列函数的值域

(1)223y x x =+- ()x R ∈⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311

x y x -=+

(5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++

⑻2y x x =- ⑼

y ⑽ 4y =

⑾y x =

6.已知函数222()1

x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

函数的定义域、值域练习题

精品 7、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3

)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=

高一数学函 数 练 习 题

一、

求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域：

x2?2x?15x?12 ⑵y?1?() ⑶y?x?3?3x?1⑴y?11?1x?1?(2x?1)0?4?x2 （4）

y?23?x （5）

y?0.71x （6）

3x?1y?32x?1 （7）求函数f(x)?1?3x?1的定义域函数y?()

12的定义域 ，y?2x?4的定义域 。

2、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为_ _ _；函数f(x?2)的定义域为________； 3、若函数f(x?1)的定义域为[?2，则函数f(2x?1)的定义域是 ；函数f(?2)的定义域为 。 3]，4、 知函数f(x)的定义域为[?1, 1]，且函数F(x)?f(x?m)?f(x?m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

21x二、求函数的值域

5、求下列函数的值域：

⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2] ⑶y?3x?13x?1 ⑷y? (x?5) x?1x?

[键入文字]

课 题 教学目标 重点、难点 函数复习 掌握函数的概念（定义域，值域，解析式） 求函数值域是本节课的难点 教学内容 一、函数复习 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x 2．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系

[键入文字]

课 题 教学目标 重点、难点 函数复习 掌握函数的概念（定义域，值域，解析式） 求函数值域是本节课的难点 教学内容 一、函数复习 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x 2．映射的概念 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① f(x) ①f(x)

11

；② f(x) x 2；③ f(x) x 1 x 22 x4 x 1 ②f(x)

2

x2 3x 4

x 1 2

⑤y

③f(x)

11

11 1x

④f(x)

(x 1)0x x

x 2 3 1x 7

例3 若函数y

ax2 ax

1

的定义域是R，求实数a a

14

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

2

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域。

例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

\例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 x 1) ②f(x) 1 x 3）③ y x

例4 若函数y f(x)的定义域为[ 1，1]，求函数y f(x ) f(x )1

4

23x

1

（记住图像） x

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①y x2 4x 1； ②；y x2 4x 1,x [3,4] ③y x2 4x 1,x [0,1]； ④y x2 4x 1,x [0,5]； 练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域

2、求函数y

§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式

1．函数的定义域

(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． (2)求定义域的步骤

①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式组；

③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (3)常见基本初等函数的定义域 ①分式函数中分母不等于零．

②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为R.

④y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. π??

⑤y＝tan x的定义域为?x|x∈R且x≠kπ＋2，k∈Z?.

??⑥函数f(x)＝x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 2．函数的值域

(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b (k≠0)的值域是R.

4ac－b

②y＝ax＋bx＋c (a≠0)的值域是：当a>0时，值域为?，＋∞?；当a<0时，值域为

?4a?

2

?－∞，4ac－b?.

4a??

2

2

k③y＝ (k≠0)的值域是{y|y∈R且y≠0}．

x④y＝ax (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R.

函数的定义域与值域的常用方法

一. 教学内容：

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值

二. 学习目标

1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式；

3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值；

4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用；

5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三. 知识要点

（一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题所给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值

函数定义域练习题

1．函数f(x)

3x

2

x13

lg(3x 1)的定义域是 （ ）

A．（ ， 2. 函数f(x)

） B．(

13

，

13

） C．(

13

，1） D．(

13

， ）

1

lg(x 1)的定义域是 （ ） 1 x

A．(-∞,-1) B．(1,+∞) C．(-1,1)∪(1,+∞) D．R 3. 若函数f(x)

A.(

1

，则f(x)的定义域为 ( )

log2(2x 1)

1111

,0) B.( , ) C.( ,0) (0, ) D.( ,2) 2222

4

函数y ( )

A.(

34

,1)

1

B(

34

,∞) C（1，+∞） D. (

34

,1)∪（1，+∞）

5. 已知f(x)=

x 1

A．{x|x 1} B．{x|x 2}

，则函数f(f(x))的定义域是 ( )

C．{x|x 1且x 2} D．{x|x 1或x 2}

6.

函数＝y R，则k的取值范围是 （ ）

A.k 0或k 9 B.k 1 C. 9 k 1 D.