狄利克雷定理的初等证明

为证明定理本身，我先证明几个引理。

引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[??,?]上可积，则有

a02?1??(an2?bn2)??f2(x)dx 2n?1???a02m??(ancosnx?bnsinnx) 证明：设Sm(x)?2n?1??2??2?显然：?[f(x)?Sm(x)]dx??????f(x)dx?2?f(x)Sm(x)dx??????Sn2m(x)dx (*)

a其中，?f(x)Sm(x)dx?02???????f(x)dx??(a??f(x)cosnxdx?b??f(x)sinnxdx)

nn?1??m???由傅立叶级数系数公式可以知道：

????2?f(x)Sm(x)dx??2a0???(an2?bn2)

2n?1mma02m?2222S(x)dx?[?(acosnx?bsinnx)]dx?a??(a?b??mnn0nn) ??2n?12n?1????以上各式代入(*)式，可以得到：

??20????[f(x)?Sm(x)]dx?另

???f(x)dx??22?2a0???(an2?bn2)

2n?1m?2a0???(an?bn)?22n?1m???f2(x)dx

这个结果对于?m?N均成立，而右端是一定积分可以

1

无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠D

篇一：正弦定理的几种证明

正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在?ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在?ABC中做单位向量

i?AB?i?(AC?CB)

|sinA?|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：?c

sinC

a

sinA?

:bsinBa

sinA?b

sinB?c

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在?ABC中做高线CD,

则在Rt?ADC和Rt?BDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B

∴b?2RsinB,即b

sinB?2R

同理:ac

sinA?2R,sinC?2R

∴ac

sinA?b

si

《克雷洛夫寓言》考级试题

1、《乌鸦与狐狸》一文中，狐狸从乌鸦的嘴里骗到了什么？( B ) A. 肉 B. 奶酪 C. 香蕉 D. 月饼

2、风越刮越大，雨越下越急。雨过天晴后，哪种植物再也无法站立？( C ) A. 芦苇 B. 小草 C. 橡树 D. 竹子

3、伊凡·安德列耶维奇克雷洛夫是哪个国家的人？( B ) A. 中国 B. 俄国 C. 英国 D. 美国

4、克雷洛夫是世界上杰出的( B )作家之一。 A. 童话 B. 寓言 C. 小说 D. 诗歌

5、神像不再显灵的原因是( B )。 A. 祭司是个聪明人 B. 祭司是个傻蛋 C. 祭司是秘书 D. 祭司是法官

6、在《狼与小羊》这个故事中，狼要吃掉小羊的理由编了( D )条。 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

7、人们都拥挤到海边，眼巴巴地望着大海，一声不响等待着奇迹发生，这是在因为( C )。

A. 在海将被烧干，大家好奇。

B. 大海里有许多宝贝大家争着来拿。 C. 因为山雀大吹牛皮，把大家骗了。 D. 有丰盛的鱼汤美餐，可以尝尝。

8、猴子配了眼镜，视力为什么还是

摘要】：

学院

学 术 论 文

论文题目：费马大定理的证明 Paper topic：Proof of FLT papers

姓 名 所在学院 专业班级 学 号 指导教师 日 期

本文运用勾股定理，奇偶性质的讨论，整除性的对比及对等式有解的分析将费马大

【 定理的证明由对N>2的情况转换到证明n=4,n=p时方程x

【关键字】：费马大定理（FLT）证明

n?yn?zn无解。

Abstract : Using the Pythagorean proposition, parity properties, division of the contrast and analysis of the solutions for the equations to proof of FLT in N > 2 by th

篇一：余弦定理的六种证法

余弦定理的六种证法

法一(平面几何)：在△ABC中，已知AC

?b,BC?a,及?C，求c。

过A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，

CD?ACcos?bcosc,

C

在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，

法二（平面向量）：

????????????????????????????2????????????2????2????????AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2|AC|?|BC| ????2

22222

cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc

?

法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，

CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

法四（利用正弦定理）：

先证明如下等式：sin证明：si

勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

abba aaca a cbc ab bcb cbbca a abb做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab2等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, GDb∴ ∠AHE = ∠BEF.

a∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, c∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. H∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

c∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 b正方形. 它的面积等于c2.

a∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, AE∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 9

毕达哥拉斯定理的证明

侯昕彤 南京大学匡亚明学院

摘 要：

欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。

关 键 词：毕达哥拉斯定理 几何原本 欧几里德

毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。

欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理： ? 定义：

【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。

【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。

【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。

【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。 ? 公设：

【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线. 【共设2】一条有限直线可以继续延长.

【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。 【共设4】凡直角都彼此相等。

【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 ? 公理：

【公理1】等于同量的量彼此相等。 【

校选课《数学文化》课程论文

一 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

??MV又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA，

?AUM??MVC

则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。[1]

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则

?FMD'??EMD，MD=MD' ○1

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而