泰勒公式在导数中的应用

泰勒公式与导数的应用

名称 泰 勒 公 式 主要内容 泰勒中值定理：如果f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n?1阶的导数，则对任一/x?(a,b)，有f//(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x)，此公式称为n阶泰勒公式； n!f(n?1)(?)其中Rn(x)?(x?x0)n?1（?(n?1)!介于，称为拉格朗日型余项；或x0于x之间）Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为皮亚诺型余项。 n阶麦克劳林公式： f//(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x???x?Rn(x) 2!n!/f(n?1)(?x)n?1其中Rn(x)?x（0???1）或Rn(x)?o(xn)。 (n?1)!x2xn????o(xn) 常用的初等函数的麦克劳林公式：1）e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n2）sinx?x?????(?1)?o(x2n?2) 3!5!(2n?1)!2nx2x4x6nx3）cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!6

泰勒公式在若干数学分支中的应用

周小哲

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，是拉格朗日中值定理的一个推广，它包含了丰富的数学思想，包括：整体与部分，具体与抽象，近似与精确，虚与实，确定与不确定，已知与未知，一与多，变化与静止，简单与复杂的辨证关系，因此它为复杂的计算问题打开了简易之门，并且在数学、物理、经济等领域均有广泛的应用。本文章阐述了泰勒公式在各种数学分支的应用，并做了详细的归纳。例如本文介绍了泰勒公式在函数极限、函数极值、不等式证明、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等几个重要方面的具体应用，除此之外还对行列式计算、函数值的近似计算与误差估计以及金融数学债券定价作了介绍。由于泰勒公式的种种特殊性质，使泰勒公式在许多领域都有广泛的应用前景和推广价值，这无疑会给解决高等数学问题带来极大的方便。

关键词：数学分析 泰勒公式 极限 应用

Taylor Formula in certain mathematics branch application

Zhou Xiao zhe

(Department of Mathematics Bohai Universit

泰勒公式在若干数学分支中的应用

周小哲

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，是拉格朗日中值定理的一个推广，它包含了丰富的数学思想，包括：整体与部分，具体与抽象，近似与精确，虚与实，确定与不确定，已知与未知，一与多，变化与静止，简单与复杂的辨证关系，因此它为复杂的计算问题打开了简易之门，并且在数学、物理、经济等领域均有广泛的应用。本文章阐述了泰勒公式在各种数学分支的应用，并做了详细的归纳。例如本文介绍了泰勒公式在函数极限、函数极值、不等式证明、级数与无穷积分敛散性的判断、定积分的计算等几个重要方面的具体应用，除此之外还对行列式计算、函数值的近似计算与误差估计以及金融数学债券定价作了介绍。由于泰勒公式的种种特殊性质，使泰勒公式在许多领域都有广泛的应用前景和推广价值，这无疑会给解决高等数学问题带来极大的方便。

关键词：数学分析 泰勒公式 极限 应用

Taylor Formula in certain mathematics branch application

Zhou Xiao zhe

(Department of Mathematics Bohai Universit

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录

目 录

1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ············································

摘 要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录

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1 引 言 ················································································································································ 3 2 预备知识········································································································································· 4

2.1 泰勒公式 ············································

数学科学学院本科学年论文 泰勒公式的展开及其应用

泰勒公式及其应用

摘要

本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。

一、泰勒公式及其余项

1：泰勒公式

对于一般函数f，设它在点x0存在直到n阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式，

f'(x0)f''(x0)f(n)(x0)2(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n称为函 Tn(x0)?f(x0)?1!2!n!f(k)(x0)(k?1,2,?,n)称为泰勒数f在点x0处的泰勒(Taylor)多项式,Tn(x)的各项系数

k!系数。

2：泰勒余项

定理1：若函数f在点x0存在直到n阶导数，则有f(x)?T(n)??((x?x0)n)；即

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??((x?x0)n)

目 录

摘要 ??????????????????????????????1 英文摘要 ????????????????????????????2 第一章 绪论??????????????????????????3 第二章 泰勒公式????????????????????????5 1.1泰勒公式的意义 ????????????????????????5 1.2泰勒公式余项的类型???????????????????????5 1.3泰勒公式 ???????????????????????????6

第三章 泰勒公式的实际应用 ??????????????????7 2.1利用泰勒公式求极限 ??????????????????????7 2.2利用泰勒公式进行近似计算 ???????????????????8 2.3在不等式证明中的应用 ?????????????????????9 2.4泰勒公式在外推上的应用 ????????????????????10 2.5求曲线的渐近线方程 ??????????????????????11 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用????????????13 2.7在广义

本科毕业论文

论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名：王子贺 学专

号：201100810613 业：数学与应用数学(金融与金融工程方向)

指导教师：崔振 学 院：数学科学学院

1 2015年 04月 20日

1

毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计） 题 目 选题时间 高等数学中的数形结合思想 论文（设计） 字数 2014、12 完成时间 2015、5 关 键 词 泰勒公式 应用 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。同时泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式，求初等函数的幂级数展开式,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点等方面都有着重要应用。为此，本文将对泰勒公式做出详细的介绍，在此基础上简述泰勒公

摘要 ................................................................................................................................................. 1 Abstract ........................................................................................................................................... 1 1.前言 .............................................................................................................................................. 1 2.预备知识 ......................................................................

共16页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第1页

泰勒公式在计算方法中的应用

作者姓名：陈琳琳

河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级1班

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.

关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分

§1 引言

泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.

§2泰勒（Taylor）公式

定理1 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n?1阶导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点?,使得：

f??(x0)f??(x0)2f(x)?f(x0)