三角形内心的向量性质及证明

收集(部分证明)了三角形四心相关性质,对高中生更加了解向量和三角形有一定帮助。

符号说明：“AB”表示向量，“|AB|”表示向量的模
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）
3 若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心

三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心：?ABC中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：?ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；

内心：?ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：?ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心

1、O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0

1若O是?ABC的重心，则?BOC??AOC??AOB??ABC故OA?OB?OC?0,

31PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.

312、 P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC).

3证明：

PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC?0?AG?BG?CG?0，即3PG?PA?PB?PC

1由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））

3，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足3、已知O是平面上一定点，A??????????????????)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心. OP?OA??(AB?AC)，?

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心

三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心：?ABC中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：?ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；

内心：?ABC中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：?ABC中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心

1、O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0

1若O是?ABC的重心，则?BOC??AOC??AOB??ABC故OA?OB?OC?0,

31PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.

312、 P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC).

3证明：

PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心

∴GA?GB?GC?0?AG?BG?CG?0，即3PG?PA?PB?PC

1由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））

3，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足3、已知O是平面上一定点，A??????????????????)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心. OP?OA??(AB?AC)，?

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三角形“四心”向量形式的充要条件应用

1．O 是ABC ?的重心?0OC OB OA =++; 若O 是ABC ?的重心，则

AB C AOB AOC BOC S 31

S S S ????=

==故=++;

1()3

PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心.

2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?;

若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：

：：=??? 故C tan B tan A tan =++

3．O 是ABC ?的外心?||||||==(或2

2

2

OC OB OA ==)

若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：：

：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是

|

CB ||

CA |(

|

BC ||

BA |(

AC

三角形“四心”向量形式的充要条件应用

知识点总结 1．O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;

若O是?ABC的重心，则

PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心.

32．O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;

S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3故OA?OB?OC?0;

tanB：tanC 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

3．O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)

222：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 若O是?ABC的外心则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0 4．O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是

?ABC内心的充要条件可以写成 OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2

儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

篇一：相似三角形的定义与性质

同学个性化教学设计

年 级： 九年级教 师: 张永慧科 目：数学 班 主 任： 朱敏_ 日 期: _时 段: ___

1 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰

校长签字： ___________日期3 海到无边天作岸，山高绝顶我为峰

篇二：相似三角形性质

精锐教育学科辅导讲义

篇三：相似三角形的性质 导学案

《相似三角形的性质》 学案

【学习目标】

知识与技能：理解并运用相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质解题。 过程与方法：经历探索相似三角形性质的过程，发展逻辑思维能力和应用能力。 情感与价值观：感受数学学习中的推理过程，积极参与推理活动。

【温故知新】

1、相似三角形的判定方法有哪一些？

2、如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=1：3，则△ADE 与△ABC的相似比为 。 3、已知：△ABC△∽ABC，AB=2cm，BC=3cm，AB=4cm， AC=2cm，则AC= cm， BC=cm。

''

''

'''

''

B

【学习过程】

1、自主学习：两个相似三角形，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．

例如，如图：△ABC和△A′B

相似三角形的比例关系及相似三角形证明的变式

【知识疏理】

一， 相似三角形边长比，和周长比以及面积比的关系！

若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------。

A A'

B'C'CB

图（4）图1

二， 相似三角形证明的变式

1，相似三角形当中常以乘积的形式出现，如：

例1、 已知：如图1，BE、DC交于点A，∠E=∠C。求证：DA·AC=BA·AE

E D

A

CB

图2

题目比较简单，学生独立完成，启发学生总结：①本题找对应角的特殊方法是对顶角相等；②要想证明乘积式或比例式，应先证明三角形相似。

2，对特殊图形的认识

例2、已知：如图3，Rt△ABC中，∠ABC=90o，BD⊥AC于点D。 AD

BC

图3

（1） 图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么

1

一个人的努力，一家人的希望 中国小学1对1个性化辅导专家

2016年士成学校个性化辅导教案 科目：年级：教师：学生：时间:月___日时间段：

一、授课题目：三角形的证明 二、教学目标： 三、针对性教学提纲： (一)本次上课内容： (二)课堂练习 (三)课堂回顾 四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 六、课后跟踪回访： 第阶段第次课 回访日期及时间： 回访方式： 受访者： 回访情况： 校 长签字： 日期：

教研组长签字： 日期：

士成教育教务处 第一章 证明（二）

《相似三角形的性质》说课稿

各位领导、老师们： 大家好！

今天我讲的是九年级数学下册的“27.2.2相似三角形的性质”一课，用的是人教版九年级数学下册数学教材 。

下面，我分四个部分来汇报我对这节课的教学设计，这就是“教材 分析”、“教学方法与教学手段的选择”、“学法指导”和“教学过程的设计” 一、教材分析 1、教材的地位及作用

“相似三角形的性质”是九年级数学下册“相似形”这章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特性，以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形性质的拓展，也是研究相似多边形的基础，这些性质是解决有关实际问题的重要工具。 2、教学目标

根据学生已有的认知基础及本课教材的地位、作用，确定本课的教学目标为： （1）知识目标：使学生掌握相似三角形的性质定理1及其证明方法，能运用

相似三角形性质定理解决问题。

（2）能力目标：通过性质定理的推导，培养学生的逻辑推理能力和动手实践

能力。

（3）德育渗透：通过全等三角形和相似三角形的类比学习，树立学生从特殊

到一般的认识规律，通过先实验后归纳再推理强化学生“实践出真知”的求知意识。

3、教学重、难点

因为相似三角形的性质是解