积分计算方法总结

定积分的计算方法

摘要

定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。以及其他特殊方法和技巧。本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法

Calculation method of definite integral

Abstract

the integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system o

第四章 数值积分 ( Numerical Integration and Differentiation)

记号： I(f)??f(x)dx——积分， Q(f)??Akf(xk)——求积公式，

ak?0bn误差： E(f)?I(f)?Q(f)， ( Quadrature Formula ) 节点：xk， 求积系数：Ak； 4.1 内插求积, Newton-Cotes公式

利用插值多项式p(x)：f(x)?p(x)?R(x) 积分 I(f)??p(x)dx??R(x)dx;

aabb例如,插值多项式取Lagrange形式 L(x), 便有

Q(f)??L(x)dx??abbna?lk(x)f(xk)dx??f(xk)?lk(x)dx

k?0k?0anb及

E(f)?I(f)?Q(f)??R(x)dx

ab此类通过在节点xi(i?0,1,?,n),a?x0?x1???xn?b 处满足插值条件的插值多项式导出的求积公式称为内插求积公式。其中：

求积系数 Ak??lk(x)dx，

ab误差 ?R(x)?f(x)?p(x)?f[x0,x1,?,xn,x]?(x)??E(f)??bab1f[x0,x1,?,xn,

重庆三峡学院数学分析课程论文

二重积分的计算方法

院 系 数学与统计学院

专 业 数学与应用数学（师范） 姓 名 年 级 2010级 学 号

指导教师 刘学飞

2014年5月

二重积分的计算方法

(重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班)

摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算

引言

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重

要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被

积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求

二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.

1. 预备知识

1.1二重积分的定义

设f?x,y?是定

三重积分的计算方法种种

摘要：三重积分的计算一直是教学中的重点和难点，本文根据三重积分的被积函数的不同性质，总结了三重积分计算的不同的处理方法，有的方法是选择合适的坐标系；有的方法是利用公式，做变量代换；还有的方法是利用被积函数在积分区域中的特殊性质。这些方法可以简化三重积分的计算。 关键词：三重积分 变量代换 对称性

Several Methods of Calculation of Triple Integral

Abstract: Calculation of triple integral is a important and difficult part in teaching work, in this paper,

according to the different character of integrand of triple integral, we give different calculation methods of triple integral, by choosing suitable coordinate system, and the variable replacement formula, the

分 类 号： TP391 学号：

本学号：12345678910

科毕业 论文

复积分计算方法的探讨

Discussion on the calculation method of the complex integral

（

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明

本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。

作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日 期：

使用授权说明

本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤

清洁验证残留限度的计算

根据GMP实施指南和相关要求，我们控制原料药（乙酰螺旋霉素）残留限度的计算依据如下：

计算方法：10ppm法、日剂量的千分之一、下批批量的0.1%（基于低毒性原料的杂质限度标准）

1、10ppm法：乙酰螺旋霉素批量为260kg，因残留物浓度最高为10*10-6，即10mg/kg，则残留物总量最大为：260*10*10-6=2600mg。则设备内表面残留物允许的限度为：

2600g?1000?100cm2?10%（保险系数）?70%（取样回收率） 残留限量A? 289.7m?10000＝20.31㎎/100㎝2

残留限度定为：20.31㎎/100㎝2/25ml=0.8124mg/ml

2、日剂量的千分之一：由于原料药生产清洁后用于生产药用辅料（醋酸钠），其为无活性物质，因此暂无法用此公式计算。

3、下批批量的0.1%（基于低毒性原料的杂质限度标准）

原料药（乙酰螺旋霉素）的最小批产量为260㎏，下批批量的0.1%，则乙酰螺旋霉素最大残留物为260g。

擦拭测试：擦拭面积以10㎝×10㎝的区域计 残留限量A?260g?1000?100cm2?10%（保险系数）?70%（取样回收率） 289.7m?10

等效静力风荷载的物理意义

从风洞试验获取屋面风荷载气动力信息，到得到结构的风振响应整个过程来看，计算过程中涉及到风洞试验和随机振动分析等复杂过程，不易为工程设计人员所掌握，因此迫切需要研究简便的建筑结构抗风设计方法。等效静力风荷载理论就是在这一背景下提出的。其基本思想是将脉动风的动力效应以其等效的静力形式表达出来，从而将复杂的动力分析问题转化为易于被设计人员所接受的静力分析问题。等效静力风荷载是联系风工程研究和结构设计的纽带[3]，是结构抗风设计理论的核心内容，近年来一直是结构风工程师研究的热点之一。

等效静力风荷载的物理意义可以用单自由度体系的简谐振动来说明[45, 108]。

x(t)kP(t)c 图1.3 气动力作用下的单自由度体系

对如图1.3的单自由度体系，在气动力P?t?作用下的振动方程为：

mx?cx?kx?P?t? (1.4.1)

2考虑粘滞阻尼系统，则振动方程可简化为：

x?2??2?f0?x??2?f0?x?式中f0?P?t? (1.4.2) m12?km为该系统的自振频率，??c为振动系统的临界阻尼比。

2km假设气动力为频率

哈密南-郑州±800kV特高压直流输电线路工程 晋1标段施工项目部 1.放线牵张力计算

（1）模拟放线弧垂，选取控制档、放线模板K值。 （2）计算控制档水平张力： Tn? 式中：

w2 2KTn——控制档水平张力，t ；

w2——导线单位重量，t ； K——模板K值。 （3）计算张力机出口张力：

ε(εn0?1) T0?n[Tn?w2?h0]

0n0(ε?1)ε1 式中：

T0——张力机出口张力，t ；

n——放线段内滑车数；

n0——张力场与控制档间滑车数；

ε——滑车摩擦系数；

?h0——控制档与张力场累计高差，m，控高为“+”。

（4）计算初始牵引力：

ε(εn?1) p0?k0[NTε?w1?h] 0n(ε?1)n