变上限积分怎么求定积分

不定积分和微分

一、公式

dd/f(x)dx?f(x)f(x)dx?和??dxf(x)dx?f(x)?c的应用 dx?注意：f(x)的不定积分为F(x)?c?F(x)是f(x)的原函数?f(x)是F(x)的导数，即

?f(x)dx?F(x)?c或F/(x)?f(x)

1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 已知

?f(?(x))dx?F(x)?c，求f(x)

?f(x)dx?x2方法：求导得f(?(x))?F/(x)，令?(x)?t，则x???1(t)，即f(x)?F/(??1(x)) 例1（1）解：对

?c，求?xf(1?x2)dx

?f(x)dx?x2?c求导得f(x)?2x，f(1?x2)?2?2x2

2222x2?c 则?xf(1?x)dx??x(2?2x)dx?x?3（2）xf(x)dx?arcsinx?c，求

??dx f(x)解：对xf(x)dx?arcsinx?c两边求导得xf(x)??11?x2，即f(x)?1x1?x2

?/dx11??x1?x2dx???1?x2d(1?x2)??(1?x2)2?c f(x)2332、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知F(?(x

一、符号积分

符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

例：

求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：

>>syms x y z %定义符号变量

>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式

F2 =

1610027357/65

第四节 广义积分

在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分

1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.

（1）由曲线y?e?x，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?limb????b0?x?b??1 edx?lim?1?e?b????（2）由曲线y?ex，及x轴、y轴所围成的图形的面积（作图） 解：A?lima????0axa??1. edx?lim?1?e?a????2．定义1.设函数f?x?在区间?a,???上连续，取b?a.如果极限 lim存在，则称此极限为函数f?x?在区间?a,???上的广义积分，记作?即：???a??b????f?x?dxab

af?x?dx.

f?x?dx?lim??b????f?x?dxab ————（1）

这时，也称广义积分?惯上称为广义积分???aaf?x?dx收敛；如果上述极限不存在，函数f?x?在区间?a,???上的广义积分就没有意义，习

f?x?dx发散.

定义2.设函数f?x?在区间???,b?上连续，取a

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教学要求： 1.了解定积分的概念 2.掌握定积分的性质 重 点：定积分的性质 难 点： 1.定积分的概念 2.定积分的性质 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 5分钟 2 定积分问题举例 15分钟 3 定积分定义 15分钟 4 定积分的性质 30分钟 5 例题及练习 25分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习不定积分的概念 二、定积分问题举例 曲边梯形的面积 曲边梯形由连续曲线y?f(x)(f(x)?0)、y?f(x)(f(x)?0)、x?b所围成（如图1）. 图1 提问：怎样

第5章 定积分及其应用

本章讨论积分学的第二个问题——定积分．定积分是某种特殊和式的极限，它是从大量的实际问题中抽象出来的，在自然科学与工程技术中有着广泛的应用．

本章主要讲授定积分的定义、性质，积分上限函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分，以及定积分在几何、物理、经济上的应用等．

通过本章的学习，学生能够理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件；掌握定积分的基本性质和对积分上限函数求导数的方法；能利用牛顿-莱布尼兹公式和定积分的换元法、分部积分法计算定积分；了解广义积分收敛和发散的概念，会求广义积分；会用定积分求平面图形的面积和简单的旋转体的体积，会用定积分解决沿直线运动时变力所做的功等实际问题．

5.1 定积分的概念与性质

5.1.1 引例

1．曲边梯形的面积

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0．由曲线y?f(x)，直线x?a，x?b以及x轴所围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1所示），下面讨论如何求该曲边梯形的面

积．

不难看出，该曲边梯形的面积取决于区间[a,b]及曲边y?f(x)．如果y?f(x)在[a,b]上为常数，此时曲边梯形为矩形，则其面积等于h(b?a)．现在

洛阳师范学院 数学科学学院 《数学分析》教案

第十章 定积分的应用

在上一章引入定积分概念时，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。

§1平面图形的面积

教学目标：掌握平面图形面积的计算公式． 教学内容：平面图形面积的计算公式．

(1) 基本要求：掌握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式．

(2) 较高要求：提出微元法的要领． 教学建议：

(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必须熟记并在应用中熟练掌握．

(2) 领会微元法的要领． 教学过程：

1、微元法

bI?众所周知，定积分

?f?x?dxa是由积分区间

?a,b?及被积函数f(x)所决定

的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分

?:x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b

记

?Ik??xkxk?1f(x)dx k?1,2

学号：

本科毕业论文

学 院 专 业 年 级 姓 名 论文题目 定积分的若干应用 指导教师 薛艳昉 职称 讲师

2013年5月16日

目 录

摘 要 ····························································································· 1 关键词 ····························································································· 1 Abstract ···········································································

定积分的概念说课稿

基础教学部 高黎明

一、教材分析 1、教材的地位和作用

本节课选自同济大学《高等数学》第五章第一节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在几何学及物理学等学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。 2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。

（2）能力目标：培养学生分析和解决问题的能力，培养学生归纳总结能力，为后续的学习打下基础。

（3）情感目标：从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辩证唯物观。 3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想 。

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 。 二、 教法和学法 1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念），问题驱动法（加深理解）， 练

习法（巩固知识）， 直观性教学法（变抽象为具体） 。 2、学法方面

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点） 。 （1）发现法解决第一个案例 ； （2）模仿法解决第二个案例 ； （3）

第四部分 定积分 第 1 页 共 30 页

第四部分 定积分

[选择题]

容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。

b1．积分中值定理?a。 f(x)dx?f(?)(b?a)，其中（ ）

(A) ?是[a,b]内任一点；

(B). ?是[a,b]内必定存在的某一点； (C). ?是[a,b]内唯一的某一点； (D). ?是[a,b]的中点。

答B

?x?tf(t)dt??02．F(x)??,2?x?,?cx?0,其中f(x)在x?0处连续，且f(0)?0若F(x)在 x?0x?0处连续，则c?（ ）。

(A).c?0; (B).c?1; (C).c不存在； (D).c??1. 答A

111n?an?axsindx,(a为常数）由积分中值定理得?nxsindx?a?sin， 3．I?lim?nn??xx?则

I?（ ）。 (A)lima?sinn??1??lima?sin??a1??a2sin1; a(B).limasin??01??0;

1

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(C).lima?sin???1?1?a;

(D).lim

定积分复习3解答

1. 定积分的定义

0011()lim ()lim ()n n

b

a h h k k f x dx f a kh h h f a kh →→===+=+∑∑? 2、定积分的性质

性质1：

?±b a dx x g x f )]()([?=b a dx x f )(?±b a dx x g )( 性质2：??=b

a b

a dx x f k dx x kf )()( (k 为常数) 性质3： 假设b

c a <<?b a dx x f )(??+=b c c a dx x f dx x f )()( 性质4：dx b a ??1dx b a ?=a b -=

性质5： 如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，则0)(≥?dx x f b

a )(

b a <

推论：（1）如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，则

dx x f b a ?)( dx x g b a ?≤)( )(b a < （2）dx x f b

a ?)(dx x f b

a ?≤)( )(

b a < 性质6：设M 和m 分别是)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则

)()()(a b