高中数学导数的概念教案

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高中数学导数及其应用

一、知识网络 二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可

负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

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时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处

的导数（或变化率），记作，即。

（Ⅱ）如果函数导，此时，对于开区间（在开区间（在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可，这样）内的导）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做函数（简称导数），记作或，即。 认知： （Ⅰ）函数是一个数值； 的导数在点是以x为自变量的函数，而函数是的导函数当在点处的导数时的函数值。 处的导数 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

专题8：导数（文）

经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 。 32 解析：f'?x??x?2，所以f'??1??1?2?3 答案：3

考点二：导数的几何意义。

例2. 已知函数y?f(x)的图象在点M(1处的切线方程是y?，f(1))1x?2，则2f(1)?f?(1)? 。

解析：因为k?11，所以f'?1??，由切线过点M(1，f(1))，可得点M的纵坐标为2255，所以f?1??，所以f?1??f'?1??3 22答案：3

例3.曲线y?x?2x?4x?2在点(1，?3)处的切线方程是 。

解析：y'?3x?4x?4，?点(1，?3)处切线的斜率为k?3?4?4??5，所以设切

232，?3)带入切线方程可得b?2，，?3)线方程为y??5x?b，将点(1所以，过曲线上点(1处的切线方程为：5x?y?2?0 答案：5x?y?2?0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y?x?3x?2x，直线l:y?kx，且直线l与曲线C相切于

考点一：求导公式。 例1. f (x)是f(x)

13

x 2x 1的导函数，则f ( 1)的值是。 3

1

x 2，则2

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y 例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1f(1) f (1) 。

， 3)处的切线方程是。 例3.曲线y x3 2x2 4x 2在点(1

考点三：导数的几何意义的应用。

例4.已知曲线C：y x3 3x2 2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0 x0 0，求直线l的方程及切点坐标。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax3 3x2 x 1在R上是减函数，求a的取值范围。

考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值。 （1）求a、b的值；

3]，都有f(x) c成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x [0，

考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x 4 x a 。求导数f' x ；（2）若f' 1 0，求f x

2

2

在区间 2,2 上的最大值和最小值。

考点七：导数的综合性问题。

3

例8. 设函数f(x) ax bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

小议高中数学概念教学

数学概念是数学学科的基本组成元素，是数学之本、解题之源。要想学好数学这门学科，首先要对数学概念有一个深刻的认识和了解，如果我们在学习数学知识的时候连概念都没有搞清楚，就没办法进行接下来的学习活动。然而，由于受到应试教育思想的影响，很多教师在进行数学教学活动的时候对于概念教学存在一个严重的误区：轻概念、重解题的现象十分普遍，更多的是把数学概念看成是一个名词而已，认为学生只需要把这些概念熟练地背下来就可以了，没有认真研究过概念教学技巧，而是把更多的时间和精力放在一些解题技巧的传授上。事实上，在数学学科中，很多的概念并不是一个简单的名词，它们往往具有深刻的内涵。很多数学概念本质上是一种数学观念，也是一种解决问题的数学方法。因此，仅仅依靠对数学概念的死记硬背是远远发挥不了数学概念应有的作用的。在学习数学的过程中，很多学生恰恰就是因为对数学概念的一知半解，对概念的理解只是停留在形式化的表面，而没有深入了解概念的内涵，从而导致在解题过程中出现了很多的问题。面对这些问题，作为高中数学教师，我们应当如何开展数学概念教学工作呢？

一、要让学生认识到在数学学习中数学概念的重要意义 在数学教学过程中，一些教师对概念教学缺乏科学的认识和必要的重

2.1.4 映射的概念

教学目标：

1．了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射； 2．通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．

教学重点：

用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：

一、问题情境 1．复习函数的概念．

小结：函数是两个非空数集之间的单值对应，事实上我们还遇到很多这样的集合之间的对应：

（1）A＝{P｜P是数轴上的点}，B＝R，f：点的坐标． （2）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应． 2．情境问题．

这些对应是A到B的函数么？ 二、学生活动

阅读课本41～42页的内容，回答有关问题． 三、数学建构

1．映射定义：一般地，设A、B是两个非空集合．如果按照某种对应法则?，对于集合

A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B．

2．映射定义的认识：

（1）符号“f：A→B”表示A到B的映射； （2）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则； （3）集合的顺序性：A→B与B→A是不同的；

（4）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行），箭头集合中元素的惟一性（多一个也

不行）

第五章5．2 弧度制

第5讲弧度制的概念

一、复习

在角度制下，一周是360度。也就是说，把一个圆平均分

割成360份，每一份所对的圆心角就是1度。把1度再细分

下去，还有分’和秒’’。其中，1度等于60分（1°=60

′），1分等于60秒。（1′=60″）

O

角度制使用60进制，在单位换算上存在很多不足。例

如：请计算23°35′+

31°40′的值。两角相加，先从最小级的单位开始算，发现35′+

40′=75′=1°15′，继续再加度单位，原式的值可以等于23°+ 31°+1°15 ′=55°15′

.度和分的换算是用60进制的。这样使计算十分麻烦。是否可以有其他角的单位，使角的运算可以更加方便简单呢？今天我们就来学习新的表示角的单位—

弧度制。先来看个定义，什么是1弧度呢？

二、新知识

1、定义

对于一个给定半径的圆，我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad(弧度)．这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

从定义上看，似乎弧度的定义与半径有关系，那么对于一个给定的圆心角，弧度数与半径有关吗?我们在几何画板中做一组实验。

我们发现拖动点C

，改变半径时，圆心角的弧度并不会改变大小。只有拖动B点，改变圆心角的大小时，弧度值才会变化。因此，角的弧度

教学设计

1．1.2 导数的概念

教材分析

一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．

课时分配 1课时．

教学目标 1．知识与技能目标

利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解． 2．过程与方法目标

用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法． 3．情感、态度与价值观

通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．

重点难点

重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：准确理解导数的概念．

教学过程

引入新课

1

问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝gt2，求1 s到2 s的平均速度．

21

问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝gt2，如何求t＝3 s这一时刻

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：

1 浅谈导数的应用

重视知识的发生发展过程，以能力立意，突出理性思

维是高考数学命题的指导思想。重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计考题是高考命题的创新主体。导数是新教材中新增内容。由于其应用的广泛性，为我们所学过的有关函数问题，曲线问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。特别是新编教材对三角、复数等部分知识的删减，使导数的位置更加重要。由于新教材的导数在高中教材中的特殊地位，和新课程改革的不断深入，因而导数知识及其与其他知识的交汇备受高考的关注，已成为高考命题的新热点。

一、用导数求曲线的切线

导数的几何意义：函数y=f (x)在x=x 0处的导数，就是曲线

y=f(x)在点p (x 0 , f(x 0))处的切线的斜率，利用上述结论，可以求解曲线的切线及相关问题。

[例1]（2003年全国高考题新课程卷）

已知抛物线c 1:y=x 2+2x 和c2:y=-x 2+a 如果直线l 同时是c 1和c 2的切线，称l 是c 1和c 2的公切线，当a 为何值时，c 1和c 2有且仅有一条公切线？写出公切线的方程。

解：函数y=x 2+2x 的导函数y ‘=2x+2

曲线c 1在点p (x 1,x 12+2x 1)的切线方程为：