刘徽割圆术的极限思想

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

割圆术及极限方法

第三讲 割圆术及极限方法

实验目的

1．介绍刘徽的割圆术．

2．理解极限概念.

3．学习matlab求函数极限命令。

实验的基本理论及方法

1．割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率．刘微先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积，其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积． “割之弥细，所失弥少．割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想．

刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，24等分，...，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。

2．斐波那奇数列和黄金分割

,,

3．学习matlab命令.

matlab求极限命令可列表如下:

表2.1

割圆术及极限方法

matlab代数方程求解命令solve调用格式.

Solve(函数

4．理解极限概念.

数列收敛或有极限是指当无限增大时，与某常数无限接近或趋向) 给出的根. 于某一定值，就图形而言，也就是其点列以某一平行与轴的直线为渐近线. 例2.1.观察数列

解:输入命令:

>>n=1:100；xn=n./(n+1) 当时的变化趋

面积拼补

求阴影部分面积

面积差：

等腰直角三角形中AB=10， 甲、乙两部分面积相等， 求扇形所在圆的面积

AD圆内相互垂直的两线段把圆分成四部分则A+C和B+D的面积谁大？B2大多少？1C S1-S2=6.56

求直角梯形ABCD的面积

两圆半径都是2cm，且图中两个阴影部分面积相等 求阴影部分面积差 求AB的长

面积重叠：

阴影部分的面积和标有红的部分的面积谁大？

阴影部分的面积和A的面积谁大

有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S+2,并且重合的两块是等面积的,直线a过两个圆心A、B, 如果直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值. B a A

C

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有

关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2，

圆的周长=2πr，

本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

例1 如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22

米，那么

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用

Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the app

极限思想在中学数学中的应用

第一章 绪论

1.1 选题提出的背景 1.2 选题研究的意义 1.3 选题研究的现状

第二章 极限思想

2.1 极限思想的产生 2.2 极限思想的发展 2.3极限思想的内涵

第三章 极限思想在中学数学中的教学

.3.1 高中教学中贯彻数学思想方法 3.2 极限思想在教学中的渗透

第四章 极限思想在中学数学中的应用

4.1极限思想在数列中的应用 4.3 极限思想在函数中的应用 4.4 极限思想在解析几何中的应用 4.5 极限思想在立体几何中的应用

绪论

1.1 选题提出的背景

万事万物总在变化，我们为了描述正在变化的现象，在数学中导入了函数这一概念，随着对变量和自变量等函数关系的不断深入变化，微积分就这么产生了，极限是微积分的基础，也是微积分中最重要的一部分，它是从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势。

极限思想微积分的基本思想，他作为现代数学的基础，与各类科学问题紧密相关，如：求物体运动的瞬时加速度，求曲线的切割，求函数的最大值，最优化问题等。这些问题在十七世纪中期，牛顿和莱布尼茨在前人的基础上，经过不懈的努力，创立了微积分，在创立微积分的过程中也产生了一种重要的数学思想，极限思想、

德国数学家克莱因在二

目录

摘要 ......................................................................................................................................................... 2 第一章 绪论 ........................................................................................................................................... 4 1.1研究意义 ...................................................................................................................................... 4 1.2本课题解决的主要问题 ...........................................................

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

极限及几种求极限重要方法的探究

王龙科

西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州 730070

摘要： 极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。 关键词： 极限；高等数学；求极限的方法

一、引言

极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。

二、极限理论 1、数列极限

定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N?，则称 f: N?→R 或 f(n),n∈N?

为数列.因为正整数集N?的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 a1，a2，…，an…

1、爆炸反应当量浓度的计算

爆炸气体完全燃烧时，其化学理论体积分数可用来确定可燃物的爆炸下限，公式如下：

C =20.9/（0.209+n0） 爆炸下限（LEL）=0.55×C 爆炸上限（UEL）=4.8(C) ^0.5

C——爆炸性气体完全燃烧时的化学计量浓度； 0.55——常数；

20.9%——空气中氧体积分数；

n0——可燃气体完全燃烧时所需氧分子数。 例如：求丙烷的爆炸极限。 丙烷化学反应式：

一分子丙烷+五分子氧气→三分子二氧化碳+四分子水 丙烷（LEL）=0.55×C=2.21%

丙烷（UEL）=4.8(20.9/（0.209+5）)^0.5=9.62%

2、由分子中所含碳原子数估算爆炸极限 爆炸下限（LEL）=1/（0.1347n+0.04343） 爆炸上限（UEL）=1/(0.01337n+0.05151)

n——分子中所含碳原子数

3、 两种以上可燃气体组成的混合体系爆炸极限的计算 3.1、莱夏特尔定律

对于两种以上可燃气体混合体系，已知每种可燃气体的爆炸极限和所占空间体积分数，可根据莱夏特尔定律算出混合体系的爆炸极限。

（爆炸下限）LE