5.4.3正切函数的性质与图象

人教版必修四课件

正切函数的性质与图象(1)

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一.正切函数的性质

1.定义域 : x | x k , k Z ; 2 2.值域 : R.3.周期性 : 正切函数是周期函数, 周期是 . 4.奇偶性 : 奇函数.

5.单调性 : 在开区间 k , k k Z 2 2 内都是增函数. k 6.对称性 : 对称中心是 ,0 . 2

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二.正切函数的图象y

y tan x

2

2

o

2

2

x

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正切曲线的图象特征 : (1)正切曲线是被互相平行的直线x

2 所隔开的无穷多支曲线组成, 每支曲线都是上下无 限伸展的. ( 2)正切曲线与直线x

k k Z

2

k k Z 向上,向下无限

接近 , 但始终不相交,即直线x 切曲线的渐近线.

2

k k Z 是正

(3)任意一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点 的距离都是 (即一个周期长).

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例1.求函数y tan x 的定义域, 周期 3 2

7.正弦、余弦、正切函数的图象和性质（2）

【复习目标】能借助三角函数的性质，解决一些简单的三角函数的奇偶性、单调性、周期

性和对称性问题

【活动过程】

活动一 基础训练 x?1. 函数y?3sin(?)的最小正周期为 242. 函数y?sinxtanx的奇偶性是 3．函数y?3sin?2x??????的单调增区间为____________ 3?4. 函数y=|sinx|的最小正周期为 ，单调递减区间是 ___________ 5. 函数f(x)?3sin?2x?π??的图象为C，如下结论中正确的序号是__________ 3?11?2π?①图象C关于直线x?0?对称； π对称； ②图象C关于点?，312??π?π5π?③函数f(x)在区间??，?内是增函数； ④由y?3sin2x的 图角向右平移个

3?1212???单位长度可以得到图象。

6．关于x的方程3sinx?cosx?2m?1?0在?0,??上有两个不等的实数根,则实数m 的取值范围是

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点

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1.4.3 正切函数的图象与性质

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一、复 习用几何法作正弦函数图象的过程？ 1、用平移正弦线得 y sin x, x [0,2 ]一个 周期内图象 . 2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 . 类 比

用正切线作正切函数y=tanx的图象

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二、探究用几何法作正切函数图象问题1、正切函数 y tan x是否为周期函数？

f x tan x tan x f x 是它的一个周期. ∴ y tan x 是周期函数，

我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？(

2 2 ,

)

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二、探究用几何法作正切函数图象 y tan x x 问题2、如何利用正切线画出函数 ， , 的图像？ 2 2 大家试一试：利用单位 圆把点( , tan 3 3)

表示在直角坐标系中。角 的终边 3 T

Y

( , tan )3 3

A

0

3

X

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y tan x x 利用正切线画出函数 ， , 的图像

高一数学正切函数图象与性质复习

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正切函数图像 作法如下： ①作直角坐标系， 并在直角坐标系 轴左侧作单位圆. ②把单位圆右半圆分成 8 等份， 分别在单位圆中作出正切线.③描点。(横坐标是一个周期的 8 等分点，纵坐标是相应的正 切线)④连线.

余切函数 y=cotx

(2)正切函数的性质 ①定义域： x | x k

,k Z 2

②值域： R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是 . ④奇偶性： ta n ( x ) ta n x ,∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 O 对称. 2 k ,

⑤单调性： 由正切曲线图象可知： 正切函数在开区间 (

2

k ), k Z 内都是增函数.

强调： a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 余切函数 y=cotx,x∈(kπ ,kπ +π ),k∈Z 的性质：

知识改变命运，学汇成就未来。中小学个性化辅导专家 021-36061142

高一数学正切函数图象与性质复习

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必修4第一章

三 角 函 数

1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象

必修4第一章

必修4第一章

1.理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作 法. 2.能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有 关的基本问题.

必修4第一章

必修4第一章

基础梳理 一、 正切函数的性质(1)正切函数的定义域和值域：定义域为__________, 值域为________; (2)正切函数的周期性：y=tan x的周期是________ (k∈Z,k≠0),最小正周期是________;

(3)正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是________ 函数，其图象关于原点________.(4)正切函数的单调性：正切函数在开区间 __________(k∈Z)内都是增函数. 一、(1) 心对称 (4) π x x≠kπ+ ,k∈Z 2

-π+kπ,π+kπ 2 2

R

(2)kπ π

(3)奇 中

必修4第一章

[-1,1] . 为________

π π 练习1:正切函数y=tan x在区间 - , 上的值域 4 4

必修4第一章

思考应用 1.能否说正切函数在整个定义域上是增函数？ 解析：不能.正切函数在整个定义域上不具有单

《三角函数的图象与性质(一)——正弦函数、余弦函数的图象》教学案例

《三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象》

教学案例

太原二中 王 桓

课题：三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象 教材分析：三角函数是继指数函数、对数函数和幂函数之后，高中学习的又一个基本初等函数的模型，同时，他又是高中数学中最后一个基本初等函数模型，因此，正弦函数、余弦函数的图象和性质的研究方法可以借鉴以前所学过的函数图象和性质的研究经验，同时这节课又可以作为以前所学方法的巩固课；再者，这节课中的正弦函数图象的作法可以将描点作图法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点展示的淋漓尽致。这节课的内容在整个高中数学的函数部分中起到不可忽视的作用。

正弦函数的图象作为三角函数的图象与性质的起始课，是在已学习了三角函数线知识的基础上来研究的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数y Asin( x )的图象和性质的知识基础和方法准备，因此具有非常重要的地位。

学情分析：

1. 学生在学习了必修1和必修3的基础上，在高一下学期第三学段学习本节内容，已经具备了研究函数的一般思维基础和能力基础，对问题的

新课导入提问：1、正弦函数性质？

y?sinx,x?R都有哪些

2、正弦函数的两个代数性质：

sin(x?2?)?sinx,sin(?x)??sinx反映了正弦函数图象的什么几何特征？

教学目标?知识与能力

利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。

?过程与方法

借助单位圆中的三角函数线能画出y=tanx的图象，借助图象理解正切函数在

,)上的性质（如单调性、周期性、最22大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决一些简单问题。

(????情感态度与价值观

亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重难点?重点：

1、利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质；

2、根据性质探究正切函数的图象。

?难点：

画正切函数的简图，体会与x轴的交点

π以及渐近线x=+kπ,k?Z2在确定图象

形状时所起的关键作用。

《二次函数

y?ax2?k的图象与性质》评课

大鹏中学九年级数学备课组

2013年11月1日在增城二中进行了《二次函数

y?ax2?k的图象与性质》

两节全市公开课，听完这两节课，给予我们备课组很大的启发。

两位老师都能做到让学生尽可能多地动手，给学生充足的空间，让学生们自主交流、展示成果、互相质疑，积极鼓励学生参与课堂教学，让学生成为课堂的主体。香江中学的黄布发老师发挥教师的个人魅力，激发学生的学习欲望，课堂气氛活跃，让学生对数学充满兴趣，也让数学课堂充满活力，真正地把课堂还给学生。这是非常值得我们学习的地方。

从这两节课当中，我们知道，要做到有效的课堂教学，就应该有效备课，备好学生；教学手段要多样化，多想办法降低学生的学习难度，提高了学生的学习效率；我们要突出教师有效的引导作用，学生才是课堂教学的主体。

三江一中九年级数学备课组

2013年11月1日在增城市第二中学进行了市公开课，对于两位老师的授课过程进行简单的评课。

第一，两位老师的备课准备的很充分，都能做到多媒体教学，课堂上学生的学习兴趣比较高，老师做到以生为本，做到让学生真正体验式的学习，这点是我们要学习的地方。

第二，在学案的设计上，我认为赖老师的设计有一些过多的重复地方，并且内容较多

第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质

【考试要求】

1．函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 （3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 （5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。 2．指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。 （4）知道指数函数是一类重要的函数模型。 3．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 （3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数（a?0,且a?1）。 4．幂函数

（1）了解幂函数的概念

11（2）结合函数y?x,y?x,y?x,y