递推数列题型及解题方法

数列典型习题及解题方法

高中数学数列基本题型及解法

这部分内容需要掌握的题型主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

一、知识整合

1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科

v1.0 可编辑可修改

1 1 数列

典型例题分析

【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数

列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an }

的前n 项和S n .

解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +

＝1812d d

++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n ，由等比数列前n 项和

公式得 S m =2+22+23+…+2n =2(12)

12

n --=2n+1-2. 小结与拓展：数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是

等比数列，公比为d

a ，其中a 是常数，d 是{}n

a 的

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公差。（a>0且a≠1）.

【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常

用求通项公式的结合

例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前

三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝

8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等

差数列．求数列{a

一 高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1??,a2n??,a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1? bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负

分界项，

?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.

?an?1?0?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.

a?0?n?1(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，an与Sn的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1，得

a2 a1 f(1)方法：叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加，得an

例１．数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 1,an an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积，得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 2,an

针对常见递推数列通向公式求法进行了详细介绍(附方法和例题)

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，an与Sn的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．

1. an 1 an f(n).

1,2, n 1，得

a2 a1 f(1)方法：叠加法. 令n

a3 a2 f(2)

an an 1 f(n 1)

以上n 1个式子相加，得an

例１．数列

解: 令n a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 1,an an 1 1(n 2)，求数列 an 的通项. 2n n 2,3, ,n,得

1a2 a1 22 2

1a3 a2 23 3

2. 1n2 n111 an a1 2 2 2 2 23 3n n111 a1 1 22 3(n 1)n11111 1 (1 ) ( ) ( ) 223n 1n1 2 .nan 1 anf(n). an an 1

1,2, n 1,得

a2 a1f(1)方法:累积法. 令n

a3 a2f(2)

an an 1f(n 1).

以上n 1个式子求积，得an

例2. 数列 a1 f(i). i 1n 1 an 中，a1 2,an

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an 1 an f(n)

解法：把原递推公式转化为an 1 an f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列 an 满足a1

11，an 1 an 2，求an。 2n n

变式: 已知数列{an}中a1 1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式. 类型2 an 1 f(n)an 解法：把原递推公式转化为例1:已知数列 an 满足a1 例2:已知a1 3，an 1

an 1

f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2n

an，求an。 ，an 1

3n 13n 1 an (n 1)，求an。 3n 2

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 (n≥2)，则{an}的通项an 类型3 an 1 pa

高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。

例:已知数列{}n a 满足211=

a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-= 所以n

a a n 111-=- 211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例:已知数列{}n a 满足

高三一轮复习资料递推数列题型归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。

例:已知数列{}n a 满足211=

a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1

11)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-= 所以n

a a n 111-=- 211=a ，n

n a n 1231121-=-+=∴ 类型2 n n a n f a )(1=+

解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n n =+，利用累乘法求解。 例:已知数列{}n a 满足

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数列问题的题型与方法

一．复习目标：

1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；

3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．

6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

二．考试要求：

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式

递推数列通项求解方法

类型一：an?1?pan?q（p?1）

思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2?q?qn?1。 )??a1??p??p?11?p??思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??qp?1，数列

?an???是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??q?n?1qan??a1?p?。 ?p?11?p???q?n?1??a1??p，即p?1?p?1?q例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。 解：方法1（递推法）：

an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2??2?2an?3?3??3???3?……?2n?1?3(1?2?2?…?22n?23?n?13?n?1)??1??2??2?3。 ?2?1?1?2?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4n?1n?1n?1为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2?2，即an?2?3。

1

类型二：an?1?an?思路1（递推