哈工大线性代数与空间解析几何作业集

习 题 一

1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：t(241356) 0 0 2 1 0 0 3.

(2) 求1至2n的全排列135 (2n 1)246 (2n)的逆序数.

解：t(13 (2n 1)24 2n) 0 0 0 (n 1) (n 2) 2 1 0 (3) 选择i与j，使由1至9的排列，91274i56j成偶排列.

解：由91274i56j是从1至9的排列，所以i,j只能取3或8.

当i 8,j 3时，t(912748563) 0 1 1 1 2 1 3 3 6 18，是偶排列. 当i 3,j 8时t(912743568) 0 1 1 1 2 3 2 2 1 13，是奇排列，不合题意舍去.

(4) 选择i与j，使由1至9的排列71i25j489成奇排列.

解：由71i25j489是从1至9的排列，所以i,j只能取3或6.

当i 3,j 6时，t(713256489) 0 1 1 2 1 1 3 0 0 9，是奇排列. 当i 6,j 3时，t(716253489) 0 1 1 2 2 3 3 0 0 12，是偶排列，不合题意舍去.

2．计算下列行列式

习 题 一

1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：t(241356) 0 0 2 1 0 0 3.

(2) 求1至2n的全排列135 (2n 1)246 (2n)的逆序数.

解：t(13 (2n 1)24 2n) 0 0 0 (n 1) (n 2) 2 1 0 (3) 选择i与j，使由1至9的排列，91274i56j成偶排列.

解：由91274i56j是从1至9的排列，所以i,j只能取3或8.

当i 8,j 3时，t(912748563) 0 1 1 1 2 1 3 3 6 18，是偶排列. 当i 3,j 8时t(912743568) 0 1 1 1 2 3 2 2 1 13，是奇排列，不合题意舍去.

(4) 选择i与j，使由1至9的排列71i25j489成奇排列.

解：由71i25j489是从1至9的排列，所以i,j只能取3或6.

当i 3,j 6时，t(713256489) 0 1 1 2 1 1 3 0 0 9，是奇排列. 当i 6,j 3时，t(716253489) 0 1 1 2 2 3 3 0 0 12，是偶排列，不合题意舍去.

2．计算下列行列式

金陵科技学院试卷

2013 /2014 学年 第1学期

共6页 第 1 页

课程所属部门： 公共基础课部 课程名称： 线性代数与空间解析几何 课程编号： 0701120117

考试方式： （A、闭）卷 使用班级： 全校 学院 公办统招 班

命 题 人： 教研室（系）主任审核： 主管领导批准：

班级： 学号： 姓名：

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 本题 得分 总分 一、 填空题（本题共11空，每空2分，共22分） 1、 设A为3阶方阵，且A?3，则3A? ， A?1? ，A*? . 2、 过点(1,2,3)且垂直于平面2x?3y?5z?7的直线方程为:

福州大学工科《线性代数与空间解析几何》试题(B)(20100221)

题号 得分 评卷人 得分 一 二 三 四 五 总成绩 一、单项选择（每小题2分，共10分）

1.向量组?1?(0,a,1),?2?(1,2,1),?3?(?1,1,0)共面，则( )。

评卷人 (A)a?1 (B)a?2 (C)a?3 (D)a?4 2．设A，B为任意两个n阶方阵，则下列等式一定成立的是（ ）。

(A)(AB)T?BTAT (B)(AB)?1?B?1A?1 (C)|A?1|?|A|?1 (D)AB?BA

?13.设三阶方阵A相似于B??????1??，I为三阶单位矩阵，则A3=（ ）。 ?1??(A) I （B）A （C）3A （D）3I

4．设A为m?n矩阵，则线性方程组Ax?0只有零解的充分必要条件为（ ）。 (A) R(A)?m (B) R(A)?n (C)|A|?0 (D)R(A)?n 5．设A为n阶正定矩阵，矩阵B与A

非数学专业大学数学

…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………………

2011～2012学年第二学期课程考试试卷（A卷）

课 程线性代数与空间解析几何B考试时间2012 年 7 月 2 日

………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。………………

3、设有向量组A： 1, 2, 3, 4，其中 1, 2, 3线性无关，则（）

(A) 1, 3线性无关； (B) 1, 2, 3, 4线性无关； (C) 1, 2, 3, 4线性相关

(D) 2, 3, 4线性相关.

4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，则下列矩阵中为对称矩阵的是( )

(A) AB-BA；(B)AB+BA；(C)AB；(D)BA.

5、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0存在非零解的充要条件是（）

(A) A的行向量组线性无关； (B) A的行向量组线性相关； (C)A的列向量组线性无关；(D) A的列向量组线性相关.

三、计算题（每小题9分，满分18分）

1

a

0b1 b 1

00c1 c

11 a00

10

一、填空题（每小题3分，满分27分）

x

第4章 向量代数与空间解析几何

4.1 空间直角坐标系

4.1.1 坐标系

在空间中任意取定点O，从O引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。这三条数轴分别称为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴），统称为坐标轴，点O称为坐标原点。

我们常用的是右手系，即用右手握着z轴，当右手四指从x轴正向转向y轴正向时大拇指的指向就是

z轴的正向。

z O yx

图4.1

在此空间直角坐标系中，x轴称为横轴，y轴称为纵轴，z轴称为竖轴，O称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy坐标面，类似地有yOz坐标面，zOx坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M与一组有序数(x,y,z)之间的一一对应关系。有序数组(x,y,z)称为点M的坐标；x,y,z分

z III 别称为x坐标，y坐标，z坐标. II

VII VI V 图4.2

IV I o y x VIII 76

这八个卦限中坐标的对应符号为：

卦限 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ － ＋ ＋ Ⅲ － － ＋ Ⅳ ＋ － ＋ Ⅴ ＋ ＋ － Ⅵ － ＋ － Ⅶ －

空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

一 、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积

第三节 曲面及其方程

一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

第四节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

《空间解析几何与向量代数》- 1 -

一、

第一节 向量及其线性运算

向量概念

在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量（或矢量）?

在数学上? 用一条有

高等数学教案 第八章 空间解析几乎与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数

教学目的：

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点：

1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程；

4、平面与平面、平面与直线、

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶

第七章 向量代数与空间解析几何（1，2）

陈建英 上饶职业技术学院

第一节 向量及其线性运算（1、2）

教学目的：理解空间直角坐标系的概念;点的坐标；掌握空间两点的距离公式. 教学重点：空间中的点与三个有序实数的一 一对应关系 教学难点：点的坐标是空间点在坐标轴上的投影 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

立体几何中长方体的对角线计算公理及其常用的公理。 二、新授课

第一节向量及其线性运算 一﹚空间直角坐标系

1．空间直角坐标系Oxyz的概念，如（图7-1）

（1）坐标轴：横轴X轴、纵轴Y轴和

竖轴Z轴三条。

右手法则（遵守右手法则时各种坐标系的画法） 点O称为坐是原点

（2）坐标面：xOy面、yOz面和zOx面。 （图7-1） 2．空间内点的坐标，如（图7-2） （1）M在坐标轴上的投影； （2）点M的坐标M(x,y,z)；

例1 作出点P（2，-3，4）在坐标轴上的投影。

例2求点M（-1，3，-2）在各坐标轴上的投影及在各坐标面上的垂足的坐标。