高中选修抛物线知识

江夏一中2013届文科数学一轮复习专题讲座

抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下： 一.弦长问题：

2

例1 斜率为1的直线经过抛物线y 4x的焦点，与抛物线相交AB两点，求线段AB的长。

二.通径最短问题：

2

例2：已知抛物线的标准方程为y 2px，直线l过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并

求直线方程。

三．两个定值问题：

2

例3：过抛物线y 2px的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为x1、x2、y1、y2，

p22

求证：x1y1 ，y1y2 p。

4

四．一个特殊直角问题：

2

例4：过抛物线y 2px(P 0)的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，若点A、B在抛物线的准

线上的射影分别是A1，B1求证： A1FB1 90。

五．线段AB为定长中点到y轴的最小距离问题

2

例5：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y x上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y 轴

的最小距离。

六．一条特殊的平行线

例6：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例7：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

八．

篇一：抛物线定义及标准方程

一、 复习预习

复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用

二、知识讲解

(一)导出课题

我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用

第二章 圆锥曲线与方程

2.4.1 抛物线及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

我们对抛物线已有了哪些认识？

二次函数是开口向上或向下的抛物线。y

o

x

问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,H

d M

·

C焦 点

·F

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

d 为 M 到 l 的距离

想一想

如果点F在直线l上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？

注：若F L,则满足到定点F和定直线L的距离相等的点的 轨迹是过点F且垂直于直线L的一条直线.

1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ，直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还

高中苏教选修（2-1）2.4抛物线水平测试题

一、选择题

1．抛物线y 2x2的焦点坐标是（ ）

Ａ．(1，0) Ｂ． ，0 1

8

Ｃ． 0

答案：C

1 8 Ｄ． 0 1 4

2．抛物线y2 2px(p 0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ） Ａ．1 2Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4

答案：C

3)，则它的方程是（ ） 3．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点( 2，

94y或y2 x 23

9422Ｂ．y x或x y 23

42Ｃ．x y 3

92Ｄ．y x 2Ａ．x 2

答案：B

4．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x 4y 12 0上，那么抛物线的方程是（ ）

Ａ．y 16x

Ｃ．y 16x

答案：C

25．抛物线y ax的准线方程是y 2，则a的值是（ ） 22Ｂ．y 12x Ｄ．y 12x 22

Ａ．1 8Ｂ． 1 8Ｃ．8 Ｄ． 8

答案：B

6．过点P( 1，0)且与抛物线y2 x有且只有一个公共点的直线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条

答案：C

二、填空题 Ｃ．3条 Ｄ．4条

7．抛物线y2 x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ．

1答案： ， 8

8．已知圆x2 y2 6x

高中数学专题四

《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2??1(a?b?0) a2b2B2 y F2 O F1 B1 A2 x P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0)c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段

高中数学专题四

《圆锥曲线》知识点小结

椭圆、双曲线、抛物线

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y2??1(a?b?0) a2b2中心在原点，焦点在y轴上 y2x2??1(a?b?0) a2b2B2 y F2 O F1 B1 A2 x P A1 y B2 O F2 B1 A2 P A1 图 形 x F1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 A1(?a,0),A2(a,0)B1(0,?b),B2(0,b) A1(?b,0),A2(b,0)B1(0,?a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(?c,0),F2(c,0) F1(0,?c),F2(0,c) |F1F2|?2c(c?0)c2?a2?b2 e?c(0?e?1)（离心率越大，椭圆越扁） a通 径 2b2（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段

高中苏教选修（2-1）2.4抛物线水平测试题

一、选择题

1．抛物线y 2x2的焦点坐标是（ ）

Ａ．(1，0) Ｂ． ，0 1

8

Ｃ． 0

答案：C

1 8 Ｄ． 0 1 4

2．抛物线y2 2px(p 0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ） Ａ．1 2Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4

答案：C

3)，则它的方程是（ ） 3．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点( 2，

94y或y2 x 23

9422Ｂ．y x或x y 23

42Ｃ．x y 3

92Ｄ．y x 2Ａ．x 2

答案：B

4．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x 4y 12 0上，那么抛物线的方程是（ ）

Ａ．y 16x

Ｃ．y 16x

答案：C

25．抛物线y ax的准线方程是y 2，则a的值是（ ） 22Ｂ．y 12x Ｄ．y 12x 22

Ａ．1 8Ｂ． 1 8Ｃ．8 Ｄ． 8

答案：B

6．过点P( 1，0)且与抛物线y2 x有且只有一个公共点的直线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条

答案：C

二、填空题 Ｃ．3条 Ｄ．4条

7．抛物线y2 x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ．

1答案： ， 8

8．已知圆x2 y2 6x

高中苏教选修（2-1）2.4抛物线水平测试题

一、选择题

1．抛物线y 2x2的焦点坐标是（ ）

Ａ．(1，0) Ｂ． ，0 1

8

Ｃ． 0

答案：C

1 8 Ｄ． 0 1 4

2．抛物线y2 2px(p 0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ） Ａ．1 2Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4

答案：C

3)，则它的方程是（ ） 3．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点( 2，

94y或y2 x 23

9422Ｂ．y x或x y 23

42Ｃ．x y 3

92Ｄ．y x 2Ａ．x 2

答案：B

4．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x 4y 12 0上，那么抛物线的方程是（ ）

Ａ．y 16x

Ｃ．y 16x

答案：C

25．抛物线y ax的准线方程是y 2，则a的值是（ ） 22Ｂ．y 12x Ｄ．y 12x 22

Ａ．1 8Ｂ． 1 8Ｃ．8 Ｄ． 8

答案：B

6．过点P( 1，0)且与抛物线y2 x有且只有一个公共点的直线有（ ）

Ａ．1条 Ｂ．2条

答案：C

二、填空题 Ｃ．3条 Ｄ．4条

7．抛物线y2 x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ．

1答案： ， 8

8．已知圆x2 y2 6x

1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：FK?p

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：OF?OK?p。 2M2PC⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、

N准线是公切线。

KoF⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样

M1Q的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：

y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py。4抛物线y2?2px的图像和性质：

yM2?p?①焦点坐标是：?，0?，

?2?②准线方程是：x??Pp。 2KM1oFQx③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PF?x0?p， 2pp?x2??x1?x2?p 222④焦点弦长公式：过焦点弦长PQ?x1?2y22

与抛物线有结论

抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，

42y1y2??p2。

证明：因为焦点坐标为F(

22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。

4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：

11?AFBF为定值。

pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222ppppp