群的直积的子群

群的直积（Direct Product of Group）

群的直积是群论中的重要概念，也是研究群的重要手段之一，利用群的直积可以从已知的群构出新的群，可以用小群构造大群，也可以将一个群用它的子群来表示，这一节介绍子群的直积及其基本性质。

定义1 设G1,G2是群，G?{(a1,a2)|a1?G1,a2?G2)为集合G1与G2为的卡氏积（Cartesian product）,在G中定义乘法运算

(a1,a2)?(b1,b2)?(a1b1,a2b2),(a1,a2),(b1,b2)?G。

则G关于上述定义的乘法构成群，称为群G1与G2的外直积（external direct product），记作G?G1?G2，G1、G2称为G的直积因子(factor of the direct product)。

当G1、G2是加群时，G1与G2的外直积也可记作G1?G2。 定理1 设G?G1?G2是群G1与G2的外直积，则 （1）

G是有限群的充分必要条件是G1与G2都是有限群，并且，当G是有限群时，??有|G|?|G1||G2|；

（2） （3） （4）

G是交换群的充分必要条件是G1与G2都是交换群。 G1?G2?G2?G1；

若令A1?{(a1,e2

矢量的直积——并矢

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算，其结果是张量，所以也叫做矢量的张量积，俗称并矢。举例说明如下：

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

与

则两个矢量的直积就是一个并矢，属于二阶张量的一种，可记为

注意：并矢的先后次序一般不可交换。即

并矢既不是点积，也不是叉积，而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间，所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项，类似于多项式乘法。如上例即

可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢（协变基矢），分量都是逆变分量，所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定，上述并矢（二阶张量）还可以简洁地表示为

注意：两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢 叫做基张量，本例中的基张量是两个基矢的并矢，所以属于二阶基张

叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢，有时也用完整

量。基张量对应的线性组合系数的一组

个分量表示其运算结果（一个二阶张量），即

矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

一组9个基张量也可以用矩阵表示为

矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢，即高阶张

世 课程：姓名： 学号： 专业：

代 数》论文

XXX

XXXXXXX

XXXXXXXXXXXXX

《近 《近世代数》

全特征子群，特征子群，正规子群的关系

内容：1）引入群的定理

2）表述其关系 3）证明并且举例

4）总结

摘 要： 本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全

特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群 正规子群。

一、有关群的定理

定理1 设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有

θ（H）∈H， 则称H为群G的一个全特征子群。

定理2 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪

子群乘积集阶的算法

一、阶的定义

1、设G使一个群。由于G对乘法满足结合律，因此由第一章可知，在G中任意取定n个元素a1,a2,a3,?,an 后，不管怎样加括号，其结果都是相等的，所以

a1,a2,a3,?,an

总有意义，它是G中一个确定的元素。

下面我们对群中元素引入指数的概念。

任取a∈G，n是一个正整数，规定

a =e，a =a1,a2,a3,?,an a =(a ) =a1,a2,a3,?,an .

由此不难推出通常熟知的指数运算规则在群中也成立：

a a =a , (a ) =a ,

其中m,n为任意整数。

定义1 设a为群G 的一个元素，使 a =e

的最小正整数n，叫做元素a的阶。

如果这样的n不存在，则称a 的阶为无限。

元素a的阶常用A表示。

二、陪集的定义

定义 1 设H是群G的一个子集，a∈G。则称G的子集

aH=｛ax︱x∈H｝

为群G关于子群H的一个左陪集.而称

Ha=｛ax︱x∈H｝

为群G关于群H的一个左陪集.

由此可知，不管是左陪集或右陪集，它们都是群的一种特殊的子集。也就是这种特殊的子集在群的讨论中占着很重要的地位。

例如，H=｛(1),(12)｝是三次对称群S

太原理工大学硕士研究生学位论文

混沌布尔粒子群算法的研究

摘 要

智能进化算法，即人们通过从不同角度模拟生物系统而开发的有助于推动现代科技发展的新兴学科。现阶段天线设计的方法已经不同于原有的单一设计方法，目前的主要趋势是利用智能进化算法对天线进行自动优化设计。粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)作为一种群体智能优化算法的典型模式，通过模拟鸟群和鱼群群体运动行为模式进行搜索，具有结构简单，强鲁棒性，收敛速度快、实现方便等特点，近年来得到了迅速发展，在电路设计、函数优化、动态问题求解和神经网络训练等领域都有着广泛应用。

光子晶体(Photonic Crystals or Photonic Bandgap，PBG)是一种有光学领域所提出的，由介质或者金属材料进行周期性排列的结构，属于介电材料的一种，并且具有频率带隙的特性。自20世纪80年代末提出概念以来受到了广泛关注。光子晶体最主要的特性是光子禁带，大多数光子晶体的应用都是基于禁带效应，因此设计具有尽可能大的禁带的光子晶体具有重要的意义。光子晶体的概念起初是由光学领域的研究提出来的，由于光波也属于电磁波谱，与微波频段的波一起遵从Maxwell方程，所以光子晶

资本公积金是企业的一种准资本.它可供企业无偿、无限期地运用。主要包括接受捐赠资产、法定资产重估增值、资本溢价、资本折算差额等。

盈余公积金分为法定盈余公积、任意盈余公积和公益金。法定盈余公积是按税后利润扣除国家允许扣除因素之后的10%计算。任何一个企业必须提取。任意盈余公积可以根据企业需要决定是否提取和提取比率，如果提取一般应该指定用途。公益金也是从税后利润中按国家或企业规定的比例提取，用途是为职工兴办集体福利，如购建职工住宅、俱乐部等。

资本公积:资本公积是指由股东投入、但不能构成“股本”或“实收资本”的资金部分，主要包括股本溢价、接受捐赠实物资产、投入资本汇兑损益、法定财产重估增值以及投资准备金等。资本公积的主要用途有两个，—是转赠资本，二是弥补亏损。

比如:公司在工商登记的注册资本为100万元，但股东实际投入到企业的资金为120万元，其中的100万元，就为实收资本，多出的20万元就为盗本公积。

盈余公积:盈余公积是指公司按照规定从净利润中提取的各种积累资金。盈余公积是根据其用途不同分为公益金和一股盈余公积两类。公益金专门用于公司职工福利设施的支出。按现行规定，上市公司按照税后利润的5%至10%的比例提取法定公益金。

一般盈余公积分为两种:一是法定

太原理工大学硕士研究生学位论文

混沌布尔粒子群算法的研究

摘 要

智能进化算法，即人们通过从不同角度模拟生物系统而开发的有助于推动现代科技发展的新兴学科。现阶段天线设计的方法已经不同于原有的单一设计方法，目前的主要趋势是利用智能进化算法对天线进行自动优化设计。粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)作为一种群体智能优化算法的典型模式，通过模拟鸟群和鱼群群体运动行为模式进行搜索，具有结构简单，强鲁棒性，收敛速度快、实现方便等特点，近年来得到了迅速发展，在电路设计、函数优化、动态问题求解和神经网络训练等领域都有着广泛应用。

光子晶体(Photonic Crystals or Photonic Bandgap，PBG)是一种有光学领域所提出的，由介质或者金属材料进行周期性排列的结构，属于介电材料的一种，并且具有频率带隙的特性。自20世纪80年代末提出概念以来受到了广泛关注。光子晶体最主要的特性是光子禁带，大多数光子晶体的应用都是基于禁带效应，因此设计具有尽可能大的禁带的光子晶体具有重要的意义。光子晶体的概念起初是由光学领域的研究提出来的，由于光波也属于电磁波谱，与微波频段的波一起遵从Maxwell方程，所以光子晶

积的变化规律

讲课人：牛红阳 学校：杨沟小学 教学内容：人教版四年级上册第51页例1 教学目标：

1．使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。

2．尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力。

3．初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。 教学重点:

让学生通过自探找出规律 教学难点：

总结应用规律 教学过程：

一、。(5分钟)

1、同学们，开始新课之前，我们先来做个游戏，一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛（八）条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛（十二）条腿......你是怎样快速的知道腿的条数？学生回答列式1×4＝4 2 ×4＝8 3×4＝12 4×4＝16 5×4＝ 20 仔细观察上面的式子和算出的积，比较一下，你能发现什么？学生回答。

1、有一个因数都是4。

2、一个因数相同，另一个因数不同，积也不同。 3、另一个因数变了，积也变了。

4、我看到一个因数不变，另一个因数越变越大，积也越变越大。

同学们表现得太优秀了，给自己鼓励一下。下面请老师上课。 2、导入新课：

同学

资本公积是由股东投入的但因故不能计入实收资本（或股本）中的那部分投入资金。以及企业在经营过程中，根据企业会计制度的规定，应当计入资本公积的那部分数额。包括：资本（或股本）溢价、接受捐赠非现金资产准备、接受现金捐赠、股权投资准备、拨款转入、外币资本折算差额、其他资本公积。这里，经营活动中按规定计入资本公积的数额，不是由企业创造的利润带来的。从总体上来说，资本公积属于投入资本，归全体股东按投资比例所有。除某些项目以外，资本公积可以转增资本。

盈余公积是指企业根据法律法规的规定和企业权力机构的决议，从企业税后利润中提取的各类盈余准备。包括：法定盈余公积金、任意盈余公积金、法定公益金、储备基金、企业发展基金、利润归还投资等。盈余公积是企业从企业创造的利润中提取的，属于留存收益范畴。盈余公积在保留法定余额的前提下，企业可以用于转增资本、分派股利、弥补亏损等。

资本公积与盈余公积最大的区别在于：前者为股东投入资本，而后者属于企业留存收益。

卷积的物理意义

进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分，这门课对于理工科学生来说应该是整个大学学习最大的基石，因为读大学的首要目的就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识，从而大大增强我们对这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。而对于学工科的我们来说，我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的物质，这些物质由于具体，所以必然可以被分解为无数非常小的微粒，由于这些微粒各自之间的作用的累积，形成了我们所需研究的物质的种种特性，于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的微粒开始研究，而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围内进行加减乘除也就是微分与积分的运算，这正好契合了我们工科专业的研究物理性东西的需求。因此，在这样的背景下，我们在大学中就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽象，但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的分析。

首先，先列出卷积的定义式：r(t)=∫e(τ)h(t τ)dτ。从直观上理解

∞+∞

这个公式就是r在t时刻的取值等于e在τ时刻的取值乘以它持续的时间dτ再乘以一个大小与t-τ这段时间间隔有关的系数h(t-τ)最后在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解