第八章热传导方程的傅里叶解

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用

第八章 热传导方程的傅里叶解

第一节 热传导方程和扩散方程的建立

8.1.1 热传导方程的建立

推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。

热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即

x u q k x

?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。

研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有

x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z

?=-? 或

即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。

下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。

第一步，定变量。研究介质

第八章 回归方程的函数形式

回忆参数线性模型和变量线性模型（见5.4）。我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。

在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。 我们将特别讨论下面几种形式的回归模型： (1) 对数线性模型(不变弹性模型) (2) 半对数模型。 (3) 双曲函数模型。 (4) 多项式回归模型。

上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。

8.1 三变量线性回归模型

以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：

Y =

AXiB2 ( 8 - 1 )

此处变量Xi是非线性的。但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式： lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 )

其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令 B1= lnA ( 8 - 3 )

可以将式( 8 - 2 )写为：

lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 )

加入随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为：

lnYi = B1+B2lnXi+

第八章 回归方程的函数形式

回忆参数线性模型和变量线性模型（见5.4）。我们所关注的是参数线性模型，而并不要求变量Y与X一定是线性的。

在参数线性回归模型的限制下，回归模型的形式也有多种。 我们将特别讨论下面几种形式的回归模型： (1) 对数线性模型(不变弹性模型) (2) 半对数模型。 (3) 双曲函数模型。 (4) 多项式回归模型。

上述模型的都是参数线性模型，但变量却不一定是线性的。

8.1 三变量线性回归模型

以糖炒栗子需求为例，现在考虑如下需求函数：

Y =

AXiB2 ( 8 - 1 )

此处变量Xi是非线性的。但可将式( 8 - 1 )做恒等变换表示成另一种形式： lnYi= lnA+B2lnXi ( 8 - 2 )

其中，ln表示自然对数，即以e为底的对数；令 B1= lnA ( 8 - 3 )

可以将式( 8 - 2 )写为：

lnYi = B1 + B2lnXi ( 8 - 4 )

加入随机误差项，可将模型( 8 - 4 )写为：

lnYi = B1+B2lnXi+

第八章习题

一、 名词解释 单一中央银行制

复合型中央银行制度 跨国中央银行制度 准中央银行制 中央银行 基础货币 金融监管

集中监管体制 分业监管体制 金融监管目标 代理国库 功能型监管 机构型监管 清算业务 再贴现 再贴现率 再贷款 一级准备 二级准备 现场检查 非现场检查

中央银行中间业务 中央银行独立性

二、 填空题

1. 在一个典型的市场经济体系中，商业银行向中央银行借款，会增加( )，

也即基础货币的数量，从而能支持更多地创造( )。

2. 中央银行在组织形式上分为( )、( )、( )、( )四种类型。 3. 中央银行对金融业管理监督的主要方法有：预防性监督管理、( )和( )。 4. 中央银行的负债主要由（ ）、（ ）和（ ）构成。 5. 政府机构存款，在我国通常称为( )。

6. 有些国家只设置类似中央银行的机构，或由政府授权某个或某几个商业银行

行使分中央银行职能的体制称为：（ ）。

7. 中央银行再贴现率的调整主要着眼于( )的考虑。 8. 中央银行在中

例8.1 设计铣床中的一对标准直齿圆柱齿轮传动。已知：传递功率P?7.5kW、小齿轮转速，使用n1?1450r/min、传动比i?2.08，小齿轮相对轴承为不对称布置，两班制，每年工作300d（天）期限为5a（年）。

解：（1）选择齿轮材料及精度等级

考虑此对齿轮传递的功率不大，故大、小齿轮都选用软齿面。小齿轮选用40Cr，调质，齿面硬度为240～260HBS；大齿轮选用45钢，调质，齿面硬度为220 HBS（表8.5）。因是机床用齿轮，由表8.10选7精度，要求齿面粗糙度Ra?1.6～3.2?m。

（2）按齿面接触疲劳强度设计

因两齿轮均为钢制齿轮，所以由（8.28）式得

d1?76.433KT1?u?1??du??H?2

确定有关参数如下： 1）齿数z和齿宽系数?d

取小齿轮齿轮z1?30，则大齿轮齿数z2?iz1?2.08?30?62.4，圆整z2?62。 实际传动比

i?i0ii0?z2z1?6230?2.067

传动比误差 齿数比

?2.08?2.0672.08?0.6%＜2.5% 可用。

u?i0?2.067

由表8.9 取?d?0.9（因非对称布置及软齿面） 2）转矩T1

T1?9.55?106Pn1?9.55?106?7.5

第八章 项目质量管理

1．控制图中的控制上限和控制下限表明( )。

A．项目团队不受处罚的最大偏差范围 B．产品质量合格与不合格的分界线 C．生产过程不需采取纠正措施的界限 D．判断项目成败的重要统计依据

2．精确不同于准确，因为( )。

A．精确是指重复测量的结果的离散度很小，准确是指单次测量的结果与目标值很接近 B．准确是指重复测量的结果的离散度很小，精确是指单次测量的结果与目标值很接近 C．精确是用于测量成本的，准确是用于测量质量的 D．精确是用于测量质量的，准确是用于测量进度的

3．实施质量保证的主要效益包括( )。

A．生产率降低，成本降低，干系人满意度提高 B．生产率提高，成本降低，干系人满意度提高 C．生产率提高，成本增加，干系人满意度提高 D．生产率降低，成本增加，干系人满意度提高

4．流程图中通常包括以下所有，除了( )。

A．每个步骤的活动 B．每个活动的责任人 C．相关的决策点 D．相关活动的时间顺序

第八章 函数

一、选择题

1． 以下关于函数的叙述中正确的是_______________。

A) 每个函数都可以被其他函数调用（包括main函数） B) 每个函数都可以被单独编译 C) 每个函数都可以单独执行

D) 在一个函数内部可以定义另一个函数 2． 对于函数，正确的说法是________________。

A) 必须有形式参数 B) 必须有返回类型说明 C) 必须有返回语句 D）必须包含函数体 3． 以下叙述中正确的是________________。

A) 函数的定义可以嵌套，但函数的调用不可以嵌套 B) 函数的定义不可以嵌套，但函数的调用可以嵌套 C) 函数的定义和函数的调用均不可以嵌套 D) 函数的定义和函数的调用均可以嵌套 4．以下叙述中正确的是________________。

A) C语言编译时不检查语法 B) C语言的子程序有过程和函数两种 C) C语言的函数可以嵌套定义 D) C语言所有函数都是外部函数 5．以下函数定义正确的是____________。

A) double f(int x, int y) B) double f(int x,

第八章电场

A．静电现象元电荷（一） B．电荷的相互作用电场（一）

A卷

一．填空题

1．如图所示装置叫作雅各布天梯，其两电极间的电弧是因为产生的，电弧不断上升的原因是。

2．自然界只有两种电荷，丝绸摩擦过的玻璃棒带电，丝绸是（选填“得到”或“失去”）电子，毛皮摩擦过的橡胶棒带电，橡胶棒是（选填“得到”或“失去”）电子。

－

3．1个二价氧离子所带电荷量为________C，一物体的电荷量为－8×108C，则该物体是________（选填“得到”或“失去”）________个电子。

4．静电力恒量k＝9×109，其物理意义是：当电量均为C的两个点电荷，相距m时，相互吸引或排斥的库仑力的大小是N。

5．库仑定律的内容是：在真空中两个点电荷间的作用力跟成正比，跟成反比，作用力的方向在它们的上。

6．库仑定律的适用条件是和，两点电荷的电量分别为2μC和5μC，相距3cm，它们间的库仑力的大小为N。

7．在真空中有两个点电荷，电量分别为q1和q2，当它们相距为r时，相互作用力大小为F。若电量不变，r

距离变为，则相互作用力大小为F。若距离不变，电量分别变为2ql和3q2，则相互作用力大小为F。

2

8．探究静电力的规律时，先固定两小球的电荷量

第八章 音韵、诗词格律 下一章 （8课时）

第一节 音韵学基础知识（2课时） 第二节 古音说略（2课时） 第三节 诗律常识（2课时） 第四节 词律常识（2课时）

【教学目的】通过本章的学习，让学生了解音韵学的基础知识，掌握近体诗、古体诗的概念；明确近体诗在格律上的要求；运用“一、三、五不论，二、四、六分明”及拗救分析近体诗的平仄；了解词的基本概念， 辨析词的用韵、平仄、对仗与近体诗的区别。

【教学重点】音韵学基础知识，近体诗的格律以及词的用韵特点（平仄、押韵、对仗） 【教学难点】近体诗平仄的分析（拗、救） 【教学方法】 讲授与提问结合 【所用课时】 8课时 【教学内容】 导 言

本章主要介绍音韵学和诗词格律的基本知识，共分四部分内容：音韵学基础知识、古音说略、诗律常识、词律常识，其中音韵学基础知识是音韵学入门，学好了音韵学基础知识才能掌握近体诗的格律 ；诗律部分是重点也是难点，需要通过分析具体诗文来帮助学生加深认识，主要运用“一、三、五不论，二、四、六分明”以及粘、对、拗救等概念来划分平仄；词律常识部分不是重点，简单加以介绍即可。

学习音韵