克莱因几何学变换群观点

第一章：几何学与变换群内容概述

基于对欧几里得几何原本中的“第五公设”即平行公理近两千年的争论，到十九世纪，出现了一些非欧几里得几何学，比如射影几何，仿射几何，双曲几何，椭圆几何等等。

其时，有两大问题困扰着数学界： 1：这些非欧几何学之间的逻辑关系问题； 2： 非欧几何学的相容性问题。

关于第二个问题非欧几何的相容性，Poincare于1882年给出了非常漂亮的解决，通常称为双曲几何模型，不作为学年论文内容。

而关于第一个问题，也即我的学年论文主要所讲述的，非欧几何学之间的逻辑关系，由F.Klein于1872年给出了解答，即克莱因变换群观点。

利用变换群观点对几何学进行定义和分类，常称为克莱因变换群观点。这个思想是德国数学家克莱因在德国Erlangen大学所做的题为“近世几何学研究的比较评论”的演讲中首次提出的，该演讲后被称为克莱因观点。他将当时已有的一些几何学统一于变换群的观点换之下，给出了建立抽象空间所对应的几何学的一种方法，对几何学的发展起到了巨大的促进和推动作用，甚至对物理学、力学的发展也产生了积极的影响。

然而，随着科学的进步和几何学的不断发展，克莱因观点已经远不能概括许多新的几何学，比如黎曼流行理论的出现和

几何学的发展简史

上海市第十中学 数学教研组 王沁

[课前设计]

中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。

可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当然，学生也很少去看。

我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动，能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一个重要课题。为此，我做了以下几方面的准备。

第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重立体几何）的发展简史。

第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。

第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、

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发言稿

芇

莅 计算几何学是研究几何问题的算法，在现代工程学与数学，诸

如计算机图形学、计算机辅助设计、机器人学都要应用计算几何学，在信息学竞赛中几何题也开始出现了，但是在实际的竞赛中，几何题得分率往往是最低的，所以我对几何题的算法进行了一下探索

肁任何复杂的算法都是由许多简单的算法组合而成的，计算几何

题也同样如此，先来看最基本的算法： 1、

2、蝿求直线的斜率 3、

4、肆求2条直线的交点 5、

6、蒅判断2条线段是否相交 7、

8、蒂求叉积等等。

芇这些都是最基本的算法，是解几何题的基础，任何对基本算法

的不熟悉，都可能导致解题的失败，所以熟悉几何题中的基本算法是非常重要的。

袅但是有了基本算法是远远不够的，因为光靠竞赛时的临时思考，

组合算法从时间上来说是来不及的，这就需要熟悉一些经典算法，在竞赛中直接使用，比如： 1、 2、薅求凸包 3、

4、袃求最近点对 5、

6、罿判断点是否在多边形内等等

袈 基本算法和经典算法都是比较简单的，最后我们再来说一下几

何题的题型

《几何学概论》试题（１）

1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线x?y?1?0，x?y?1?0，且点（1，1）

的象为原点.(15?)

2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(10?)

3. 写出直线2x1+3x2-x3=0,x轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10?) 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

5. 已知A(1,2,3),B(5,-1,2),C(11,0,7),D(6,1,5),验证它们共线,并求(AB,CD)的值.(8?)

6. 设P1(1,1,1),P2(1,-1,1),P4(1,0,1)为共线三点,且(P1P2,P3P4)=2,求P3的坐标.(12?) 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10?)

8.一维射影对应使直线l上三点P(-1),Q(0),R(1)顺次对应直线l?上三点

P?(0),Q?(1),R?(3),求这个对应的代数表达式.(10?)

9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10?)

《高等几何》试题（２）

1.求仿射变换x??7x?y?1,y??4x?2y?4的不变点和不变直线. (15?) 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(15?)

3.求证a(1,2,-1) ,b

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

栏目编辑：笑春风　　　　Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｘｔ＠ｔｕｐ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎTrends

前　瞻　技　术

分形理论：大自然的几何学

天津航天科工集团８３５７研究所　　陈运迪／文

分形理论是当今世界十分活跃的新理论。作为前沿学科的分形理论认为，大自然是分形构成的。大千世界，对称、均衡的对象和状态是少数和暂时的，而不对称、不均衡的对象和状态才是多数和长期的，分形几何是描述大自然的几何学。作为人类探索复杂事物的新的认知方法，分形对于一切涉及组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在石油勘探、地震预测、城市建设、癌症研究、经济分析等方面取得了不少突破性的进展。本文简要介绍分形理论的产生和应用概况。

曾有人提出了这样一个显然是荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。”其论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔１００米立一个标杆，这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为１００米的直线线段。如果改为每１０米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长１０米。显然，后一

呢？显然，并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。英国的海

阿拉伯的三角学与几何学

由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，（《苏利耶历数全书》是天文著作，是印度第一个正弦表，年代距阿耶波多不远）以及希腊托勒玫的《大成》、梅内劳斯的《球面学》等古典著作。三角形的建立是亚历山大后期几何学最富创作性的成就，而托勒玫就是最卓越的代表人物。梅内劳斯（约公元1世纪人),古希腊亚历山大后期的数学家、夭文学家,三角术(主要是球面三角术)创始人之一他写过关于圆中的弦6本书,可惜都已失传,幸好他著的一本《球面论》以阿拉伯文本保存了下来.该书共3册,第一册讨论球面几何,第二册以夭文为主题,第三册是球面三角术.现今所谓“梅内劳斯定理”即在这第三册之中。

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼作出的，他约858年生于哈兰（在今土耳其东南部）；929年卒于伊拉克，萨马拉附近。而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。其《天文论著》（又名《星的科学》）被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果。在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切。他称正弦为jī ba，来源于阿

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力．所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力．

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决．

例1 已知正方体

出过点P、E、F三点的正方体的截面．

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、的中点（如图1)．作

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点．学生看到这样的题目不知所云．有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可．观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面中点，故取在平面

，由面面平行的性质可得，截面和面的中点Q，则FQ也是一条交线．再延长FQ和和平面

的交线上，连PM交

的交线一定和PE平行．而F是

的

的延长线交于一点M，由公理3，点M

于点K，则QK和KP又是两条交线．同理可以找

到FR和RE两条交线（如图2).因此，六边形PERFQK就是所求的截面．

自主招生专题辅导之

解析几何

专题引导

解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分。在解解析几何问题时，首先要熟练掌握直线与圆锥曲线方程的各种表示方法及适用范围，并能灵活地选择适当的表示方法以快捷地解题；其次要掌握各种方程中有关参数的意义及参数间的关系，此外，在具体解题时，要注意结合图形，观察图形的几何特征并灵活运用待定系数法，“设而不求”等常用方法。

学习要领

1.本专题对计算能力有一定的要求；

2.灵活运用二次曲线的有关性质可以简化计算；

3.数形结合是分析本专题问题的常用手段；

4.设而不求和韦达定理都是处理直线与圆锥曲线问题的重要方法。 2011-2012年自主招生北约、华约、卓约真题

（2011华约3）3.已知y?x3?x2?2x?1，过点(－1, 1)的直线l与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l的斜率为 ( ) A?2??????B?1??????C??1???????D??2

（2011华约8）8. AB为过抛物线y2＝4x焦点F的弦，O为坐标原点，且?OFA?135?，C为抛物线准线与x轴的交点，则?ACB的正切值为 ( )

A?22???????B?425???????C?423???????D?2

初中数学几何变换之

轴对称

一、知识梳理

1、轴对称基本要素：对称轴。 2、基本性质：

（1）对应线段、对应角相等

（2）对应点所连线段被对称轴垂直平分 （3）对称轴上的点到对应点的距离相等 （4）对称轴两侧的几何图形全等 3、应用

翻折问题、最值问题等

二、常考题型

类型一：轴对称性质

1、如图，在平行四边形ABCD中，AB?13，AD?4，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为__________.

第1题 2、如图， 矩形

第2题

第3题

中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE

与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________.

3、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边

AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为

。

4、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F?CD时，CF的值为 。

0

FD5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶