质点动力学 大学物理 第二章

第二章 质点动力学习题答案

2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向

与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行

斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-1.

?

图2-1

X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ②

t?0时 y?0 vy?0

y?12gsin?t

2由①、②式消去t，得

y?12v02gsin??x

22-2 质量为m的物体被竖直上抛，初速度为v0，物体受到的空气阻力数值为f?KV，K为

常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m受两个力，重力P及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：

???合力：F?P?f

???P?f?ma

y分量：?mg?KV?mmdVmg?KV??dt

dVdt

?即

第二章 质点动力学习题答案

2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向

与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行

斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-1.

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图2-1

X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ②

t?0时 y?0 vy?0

y?12gsin?t

2由①、②式消去t，得

y?12v02gsin??x

22-2 质量为m的物体被竖直上抛，初速度为v0，物体受到的空气阻力数值为f?KV，K为

常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m受两个力，重力P及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：

???合力：F?P?f

???P?f?ma

y分量：?mg?KV?mmdVmg?KV??dt

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第二章 质点动 力学

2－1一物体从一倾角为30 的斜面底部以初速v0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30

物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

121

mv mv02 f 2s22

物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

(1)

1

0 mv02 f s mgh f s mgssin30

2

s

把式（2）代入式（1）得，

2(2)

u

2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得

2

20.198

dvFt mgsin m

dt

v2Fn T mgcos m2

R

由v

(1)

(2)

dsrd rd ,得dt ,代入式（），1 dtdtv

习题2－2图

并根据小球从点A运动到点C始末条件进行积分有，

v0

vdv ( rgsin )d

90

得v 则小球在点C的角速度为

v

r

＝ mv2

由式（2）得

第二章 质点动 力学

2－1一物体从一倾角为30 的斜面底部以初速v0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30

物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

121

mv mv02 f 2s22

物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

(1)

1

0 mv02 f s mgh f s mgssin30

2

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把式（2）代入式（1）得，

2(2)

u

2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得

2

20.198

dvFt mgsin m

dt

v2Fn T mgcos m2

R

由v

(1)

(2)

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习题2－2图

并根据小球从点A运动到点C始末条件进行积分有，

v0

vdv ( rgsin )d

90

得v 则小球在点C的角速度为

v

r

＝ mv2

由式（2）得

质点动力学

一、学时安排 四学时 （包括习题课一学时） 二、教学要求 （重点 难点 * ）

1、掌握用牛顿运动定律解题的基本思路：认物体，看运动，查受力（画受力图），列方程（一般用分量式）。

2、了解基本自然力。

3、理解非惯性参照系下的力学定律。*

4、掌握用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。 三、教学参考书

1、杨仲耆著《大学物理学》力学

2、Berkeley Physics Course, Vol.1 3、University Physics . part 1

质点动力学是研究物体间的相互作用及其对物体的影响，即是研究质点运动状态变化的原因的。

在力学中，描写一个质点的运动状态的基本参量是物体的位置坐标和运动速度，已知某物在某时刻的r,v,它的状态就被确定了。

一、牛顿运动定律

牛顿运动定律是质点动力学的基本定律，它是经典力学的基础，适用于宏观、低速运动的物体。

1、

牛顿运动第一定律（惯性定律）——任何物体在不受外力的作用下，始终保

持静止或匀速运动状态。 理解牛一时应注意

（1）牛一是以实验事实为基础，通过思维、

第一章 质点的运动

1－1已知质点运动方程为x??Rsin?t，y?R(1?cos?t)，式中R，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。

解：

?vx?dxdy??Rwcoswt,vy???Rwsinwtdtdt

22?v?vx?vy?Rw?ax?dvydvx?Rw2sinwt,ay??Rw2coswtdtdt

22?a?ax?ay?Rw2?x?Rsinwt,y?R(1?coswt)

?轨迹方程为x2?(y?R)2?R2

质点轨迹方程以R为半径，圆心位于（0，R）点的圆的方程，即质点作匀速率圆

周运动，角速度为ω；速度v = Rω；加速度 a = Rω2

1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h处所需时间为t1，自抛出经最高点再回到同一高度h处所需时间为t2，求证：h =gt1 t2/2

解：设抛出点的速度为v0，从高度h到最高点的时间为t3，则

?v0?g(t1?t2)?0,t1?2t3?t2?v0?g(t1?t2)/2?h?v0t?(t?t)121gt?g12t1?gt12 2221?gt1t221－3一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a＝?kv2，k为一常数，求证船在

第2章 质点动力学

2-1. 如附图所示，质量均为m的两木块A、B分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C上。若突然撤去支持面C，问在撤去支持面瞬间，木块A和B的加速度为多大？

解：在撤去支持面之前，A受重力和弹簧压力平衡，

F弹?mg，B受支持面压力向上为2mg，与重力和弹簧压

力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则

A：平衡，aA?0；B：不平衡，F合?2mg?aB?2g。

2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。

（1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不

是向心力。

（2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。

解：（1）不正确。不指向圆心的力的分量可为向心力。

（2）不正确。合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。

2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出Tcos??G?0。另有沿绳子拉力T的方向求合力，写出

T?Gcos??0。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？

解：Tcos??G?0正确，因物体在竖直方向上受力平衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。 因沿T方向，物体

质点动力学习题答案

2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向

与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行

斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-1.

?

图2-1

X方向： Fx?0x?v0t① Y方向： Fy?mgsin??may②

t?0时 y?0vy?0

y?由①、②式消去t，得

1gsin?t2 2y?1gsin??x2 22v02-2 质量为m的物体被竖直上抛，初速度为v0，物体受到的空气阻力数值为f?KV，K为

常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m受两个力，重力P及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：

???合力：F?P?f

???P?f?ma

y分量：?mg?KV?mdV dt?mdV??dt

mg?KV即

dV1??dt

mg?KVmtdV1???v0mg?KV?0mdt v1mg?KV1ln??dt Kmg?KV0mmg?KV?

习题

2-1

质量为0.25kg的质点，受力为F?ti(SI)的作用，式中t为时间。t?0时，该质点以

v0?2jm?s?1的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量是_____.

解 因为

dvFtit于是有???4ti,所以dv??4t?id，

dtm0.25?vv0dv???4ti?dt，

0tv?2t2i?2j；又因为

r?dr?v，所以dr??2t2i?2j?dt，于是有?dr???2t2i?2j?dt，dt23ti?2tj?C，而t=0时质点通过了原点，所以C?0，故该质点在任意时刻的位置323矢量为r?ti?2tj。

3

2-2

一质量为10kg的物体在力f?(120t?40)i(SI)作用下，沿x轴运动。t?0时，其速度

v0?6im?s?1，则t?3s时，其速度为（ ）

A. 10im?s B. 66im?s C. 72im?s D. 4im?s 解 本题正确答案为C 在x方向，动量定理可写为所以 v?v0??1?1?1?1??120t?40?dt?mv?mv030，即mv?mv0?660

660660?6??72?m?s?1?。 m10 1

2-3

一物体质量为10kg

大学物理

2013-8-3

大学物理

第二章

运动定律与力学中的守恒定律

2.1 牛顿运动定律一、牛顿运动三定律二、常见的几种力 三、惯性系 四、应用牛顿运动定律解题步骤

2013-8-3

大学物理

伟大的科学家牛顿2013-8-3

《自然哲学的数学原理》3

大学物理

自然和自然规律隐藏在黑暗之中， 上帝说“让牛顿降生吧”, 一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了， 上帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”, 就恢复到现在这个样子。

2013-8-3

大学物理

少年时代的牛顿，天资平常，但很喜 欢制作各种机械模型，他有一种把自然现 象、语言等进行分类、整理、归纳的强烈 嗜好，对自然现象极感兴趣。 青年牛顿1661年考入剑桥大学三一学院

1665年获学士学位1666年6月22日至1667年3月25日， 两度回到乡间的老家2013-8-3 5

大学物理

全面丰收的时期1667年牛顿返回剑桥大学当研究生， 次年获得硕士学位

1669年由于巴洛的推荐，接受了“卢 卡斯数学讲座”的职务1669年发现了二项式定理

1672年，由于制造反射望远镜的成就被接 纳为伦敦皇家学会会员1672年进行了光谱色分析试验 1680年前后提出万有引力理论

1687年出版了《自然哲学的数学原理》2013-8-