人教版数学积分

GCT数学.微积分部分

第11章函数的极限与连续

11.1函数 一 函数

1定义 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数x?D，变量y按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y?f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。 2 表示法

3 基本初等函数

?1x?0?xx?0?例11．1．1（1）y?C； （2）y?x?? ； （3）y??0x?0。

??xx?0??1x?0? （4）设x是任一实数，y??x?表示不超过x的最大整数部分。 例11.1.2 下列函数是否相同？ （1） f(x)?lgx2g(x)?2lgx；（否） （2） f(x)?3x4?x3,（是） g(x)?x3x?1；

（3） f(x)?(x?1)2,g(x)?x?1。（否）

例11.1.3 求函数的定义域。

（1）y?1 ； 答x?0 x?x1，求f(x)的定义域.x?e?2 x?1 （2） 设f(ex?1)?

二 特性

1函数的有界性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果?M?0，使得对?x?I，有f(x)?M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在

考研数学：微积分公式汇总

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高中数学 微积分

一、导数

1．导数的定义

定义：设函数y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，若极限limx?x0f?x??f?x0?存在，

x?x0则称函数f在点x0处可导，并称该极限值为函数f在点x0处的导数，记为f??x0?（或

dydf．若令x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，则 y?|x?x0，|x?x0，|x?x0）

dxdxx?x0limf?x0??x??f?x0?f?x??f?x0??f??x0?．所以，导数是函数增量可改写为lim?x?0?xx?x0?y与自变量增量?x之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差

商），而导数f??x0?则为f在x0处关于x的变化率．若limx?x0f?x??f?x0?极限不存在，则

x?x0称f在点x0处不可导．

2．导函数

若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f为I上的可导函数．此时，对每一个x?I，都有f的一个导数f??x?（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为f在I上的导函数，也简称为导数，记为f?或y?，即f??x??lim?x?0f?x??x??f?x?，x?I．

?x3．导数的几何意义

函数f在点x0处

第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、

第四章 不定积分

一、不定积分的概念、性质与基本积分公式 内容提要

1、原函数与不定积分的定义 （1）原函数的定义

如果对任意x?I都有F?(x)?f(x)，或dF(x)?f(x)dx，则称函数F(x)是f(x)在区间I上的原函数。

任何一个在区间I上连续的函数都存在原函数。

若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则对任意常数C，F(x)?C也是f(x)在区间I上的一个原函数，并且f(x)在区间I上的任何原函数均可表示成F(x)?C的形式。 （2）不定积分的定义

设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)在I上的原函数的一般表达式

F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作?f(x)dx，即

?f(x)dx?F(x)?C

其中C为任意常数；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；? 称为积分符号；x称为积分变量。

一个函数的不定积分不是一个数，也不单指某个具体的函数，而是一个函数族。 2、不定积分的性质

（1）(?f(x)dx)??f(x) 或 d?f(x)dx?f(x)dx。 （2）?F'(x)dx?F(x)?C 或

?dF(x)?F(x)?C。

（3）?kf(x)dx?k?f(x)dx（

数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法： 5.1函数思想

函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。例如：

一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A版选修2–2课本37页习题）

解：设其中一段铁丝的长度为x，则另一段为l?x，面积为s

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专题03 导数及其应用

易考点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系

A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1?t?,W2?t?与时间t(天)的关系如图

所示，则一定有

A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好

C．A机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.

因为在(0，t0)上，W1?t?的图象比W2?t?的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．

【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．

1．平均变化率

函数y?f(x)从x1到x2的平均变化率为

f(x2)?f(x1)，若?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1)，则平

x2?x1均变化率可表示为2．瞬时速度

?y. ?x全国重点名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解）

一般地，如果物体的运动规律可以用函数s?s(t)来描述，那么，物体在时刻t

《经济数学——微积分》第二章课件

第三节 无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题

《经济数学——微积分》第二章课件

一、无穷小(infinitesimal)1. 定义 如果函数 f ( x ) 当 x → x0 (或 x → ∞ ) 定义:时的极限为零 ，那么称 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 .f (x) 为 当 x → x0 ( 或 x → ∞ ) 时 的 无 穷 小

ε > 0 , δ > 0 ,当0 < x x0 < δ 时，有 f ( x) < ε

《经济数学——微积分》第二章课件

例如, 例如∵ lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小.x →0

1 ∵ lim = 0, x→∞ x

1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x

( ( 1) n ( ( 1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n

注意 (1)无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; )无穷小是变量,不能与很小的数混淆 (2)零是可以作为无穷小的唯一的数 )零是可以作为无穷小的唯一的数.

《经

经济数学(定积分习题及答案)

第六章 定积分

习题 6－1

2

y x1.利用定积分的定义，计算由抛物线、直线x = a, x = b及x轴所围的图形的面积

S(0 a b).

解 将区间 a,b n等分，则每个小区间的长均为

xi

b a

n

b ab a a (i 1),a i nn ,取小区间的右 于是第i个小区间为 b ab a2

a if( ) (a i)(i 1,2, ,n)ii

n，则n端点为 i，即

a(b a)(b a)22b a

Sn f( i) xi (a 2i i)2

nn ni 1i 1因为

n

n

2

b a n2b an(b a)2

a 2ai n i 1ni 1n2

2 i

i 1 n

b a 2b an(n 1)(b a)2n(n 1)(2n 1)

na 2a 2

nn26n

2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)

(b a) a 2

n6n

而

2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) limSn lim (b a) a n n n6n2

2(b a)2

(b a) a a b a

3

11

(b a)(a2 ab b2) (b3 a3)33

补充内容 一．二重积分

定义：设D为xy平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的函数。用任意的曲线把D分成n个小区域?1,?2,??n. 以??i表示小区域的面积，这些小区域构成D的一个分割T, 以di表示小区域?i的直径，称T?maxdi为分割T的细度。在每个?i上任取一点

1?i?nn(?i,?i)，作和式?f(?i,?i)??i，称它为函数f(x,y)在D上属于分割T的一个积分和。

i?1如果

n lim?f?(i?,i?)?i

T?0i?1存在，则称f(x,y)在D上可积，此极限值就称为f(x,y)在D上的积分，记为

??Df(x,y)d?，即

n

??Df(x,y)?d?T?0li?mi?1f?i(?i?,?)i。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??Dkf(x,yd)??k??fx(y,d?)

D 2. 若f(x,y),g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

??[fD(x,y