切线证明

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，

∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

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切线的证明方法和归纳：

1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：

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学习资料无交点,作垂直,证半径.

如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

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有交点，连半径,证垂直.

例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

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已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．

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相关题型

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接C

切线的证法

1. 直线与圆只有唯一公共点，则直线是圆的切线

2. 圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线是圆的切线 3. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 一. 角平分线证相切：（作弦心距，利用勾股定理）

例：.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若

AC3AF

=,求的值。 AB5DF

练习2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。 （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若sin∠ABC=

4

,CF=1,求⊙O的半径及EF的长。 5

3. 如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

F(2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长.

B

4.已知如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B、M两点的⊙O交BC

于点G，交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1） 求证：AE与⊙O相切； （2）

中考数学专题突破：证明圆的切线

方法一：等角代换（☆☆☆☆☆） 方法二：利用平行线的性质（☆☆） 方法三：证明三角形全等或相似（☆） 方法四：算出角度 方法五：勾股定理

方法一：等角代换（找到与90度相等的角）

【2017山东潍坊22】如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）求证：EF为半圆O的切线；

【解析】（1）证明：连接OD， ∵D为

的中点，∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO， ∴∠CAD=∠ADO， ∵DE⊥AC，∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；

【2017山东德州20】如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC

为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；

【解析】（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°， ∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2， ∵OE=OC，∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB， ∵∠ACB=90°，∴∠OED=90

运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆x2?y2?r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2；当M(x0,y0)在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x0x?y0y?r2。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。

联想一：（1）过椭圆x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)切线方程为

xa22?y0yb2（2）当M(x0,y0)在椭圆?1；

x0xa2?yb22过M引切线有两条，?1的外部时，

过两切点的弦所在直线方程为：

xa22?y0yb2?1

2xa2证明：（1）?yb22?1的两边对x求导，得?2yy?b2?0，得y?x?x0??bx0ay022，由

点斜式得切线方程为y?y0??xa22bx0ay022(x?x0)，即

x0xa2?y0yb2?x0a22?y0b22?1 。

（2）设过椭圆?yb22?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)引两条切线，切点分别

xxyy为A(x1,y1)、B(x2,y2)。由（1）可知过A、B两点的切线方程分别为：12?12?1、

abx1x0y1y0x2xy2yM(x,y)。又

2014.12.26圆的切线证明

1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

（2011中考）2.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若tan∠ABE=

3 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

1

E4 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

D

5 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线

CP

1,求sin∠E. 2OB

6 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.

7 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

A8. （2006北京中考）已知：如图，△ABC

利用导数求曲线的切线和公切线

一.求切线方程

32

【例1】.已知曲线f(x)=x-2x+1.

(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；

(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.

提醒：注意是在某个点处还是过某个点！

二. 有关切线的条数

【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．

（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣

或x=）=

， ，f（

）=﹣．

，f（1）=﹣1，

∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为

（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0）， 则y0=2

﹣3x0，且切线斜率为k=6

﹣3，

∴切线方程为y﹣y0=（6∴t﹣y0=（6

﹣3）（x﹣x0），

﹣6

+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，

﹣3）（1﹣x0），即4

则“过点

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导数中的不等式证明

导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段

命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用

命题角度1 构造函数

【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数f?x??1?lnxae1,g(x)?x??bx，若曲线y?f?x?与曲xex线y?g?x?的一个公共点是A?1,1?，且在点A处的切线互相垂直． （1）求a,b的值；

（2）证明：当x?1时，f?x??g(x)?【解析】（1）a?b??1； （2）g(x)??e12lnxe1??x，f?x??g(x)??1??x??x?0， xexxxex2?x?1?，则 x2． x令h?x??f?x??g(x)?h?x??1?h??x???lnxe1?x??x， xex1?lnxe1lnxe?x?2?1?2?x?1， 2xexx

切线长定理

数学探究 如图，纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条切线，沿 着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。 A 问题： 1.OB是⊙O的一条半径吗？

OP B

2.PB是⊙O的切线吗？3.PA、PB有何关系？

4.∠APO和∠BPO有何关系？

数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A 你能证明吗？ O P 用数学语言怎 么表达？ B

· ·

·

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理

数学探究 思考：连结AB,则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A

· O ·EB

·

P

随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B,OP交⊙O于点M,连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°,则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。

AO P

M B

C

数学探究 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ A

B C

数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心