求圆球的面积与体积编程
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积分求圆球面积和体积
积分法求圆球的表面积与体积 方法一:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)
(∞→n 每份长为x ?
球体也同时被垂直分成n 份薄片
每片的半径为22x R r -=
每片分得弧长为l d
如图:当无限等分后
(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?=
易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX
EH OC CE ?= x x R R
l ?-=??22弧 薄片的球面面积x x R R
x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ
x R S ?=?π2
球面面积??+-+-==R
R R R Rx Rdx ππ22=2
4R π 方法二:
如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -=
将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体
沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份
)(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈
球体也同时被垂直分割成n 份薄片
每片弧长相等对应圆心角为θ?
每片对应的半径为θsin R r =
当0→?θ时
(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB
求阴影部分的面积
如何利用平移变换解决问题(二)
一、教学目标:
1、知识与技能:使学生能够利用平移变换解决有关周长和面积的计算问题;
2、过程与方法:在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力;
3、情感态度价值观:(1)体验数学知识是通过观察猜想和验证的过程,欣赏数学图形之美
(2)体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程
二、重点与难点
1、重点: 平移变换的正确使用;
2、难点: 能对复杂图形进行恰当的平移变换是难点。
三、教学用具:计算机
四、教学过程
(一)课题引入
平移变换是图形变换的基础,利用平移的特征。
(二)分析问题和解决问题
1、运用平移解决周长计算问题
例1、如图2—1,多边形的相邻两边互相垂直,则这个多边形的周长为( ).
(A)21 (B)26 (C)
37
(D)42
图1 图2
分析:图中只给出了一个底边的长和高,所以要从现有的条件入手.我们可以利用平移的知识来解决:把所有的短横线移动到最上方的那条横线上,再把所有的竖线移动到两条竖线上,这样可以重新拼成一个长方形(如右图2—2),可得多边形的周长为2×(16+5)=42.
答案:
求阴影部分的面积教学设计
求阴影部分的面积
教学内容:六年级数学上册圆的整理与回顾(三):求阴影部分的面积 教学目标
1.经历圆的整理与复习过程,提高归纳、整理知识和综合运用所学知识解决简单的实际问题的能力。
2. 进一步练习圆的面积的有关知识,并能灵活运用求圆面积的的方法解决生活实际问题,从而感受数学的实际价值。
3. 培养合作意识、评价意识、自控意识以及综合运用知识解决问题的能力。
4. 在解决问题中体验成功,享受自我价值。
教学重难点
教学重点:掌握阴影部分的面积计算方法 。
教学难点:能灵活应用公式解决一些实际问题。
教具准备 多媒体课件等
教学过程:
一、问题回顾,再现新知。
1.谈话导入:
同学们,上节课我们一起研究了圆的特征,周长及面积的计算方法,这节课我们继续一起来解决一些有关阴影部分面积的计算方法,看看自己是否学会了,好吗?(导出并板书课题)
[设计意图]简洁语言揭示本节活动主题,激起学生回顾与整理本单元知识的兴趣与愿望,让学生树立回顾与反思意识。
2.梳理知识:
谈话:请同学们继续观察情境图,神舟五号飞船实际降落的范围比预定降落的范围小了多少平方千米?
〔设计意图〕回顾圆面积的计算方法,有利于本节课知识的学习,另外,通过再入情景,提出问题,引导学生加深对环形面积的探索和学习。
二、分
体积和表面积的比较
《体积和表面积的比较》教学设计
高遥
教学内容:小学数学《第十册》44-45页例7及“做一做”,练习九第1-5题。
教材分析:体积和表面积的比较,是在学习了长方体和正方体的表面积和体积的基础上进行教学的。有的学生在实际运用中,容易把这两个概念混淆。这部分知识就是通过复习和对比,使学生分清这两个概念的联系和区别。本课时包括的内容有:通过三个问题来复习和比较已学过的知识,并利用插图来帮助说明:长方体的表面积指的是围成它的六个面的总面积,而长方体的体积指的是它所占空间的大小;计量表面积要用面积单位,计量体积要用体积单位;在计量长方体的表面积和体积都要测量长、宽、高,但是由于计算的内容不同,计算方法就不同。例7和下面的“做一做”让学生进一步分清怎样求长方体和正方体的表面积和体积。练习九中的习题也是针对体积和表面积进行的对比练习。教学目标:
1、加深认识表面积和体积的意义,明确表面积和体积的区别和联系,能正确地计算实际生活中长方体和正方体的表面积和体积。 2、培养学生观察、分析、比较、归纳、自主探究、小组合作、独立思考的的能力。
3、培养学生严谨的数学学习态度,感受数学与生活的密切联系。 教学重点,难点:准确区分表面积和体积,运用知识解就解决实际问题。
教具准备:
《空间几何体的表面积与体积》教案
空间几何体的表面积与体积 适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 几何体的表面积 几何体的体积 几何体的三视图与体积、表面积问题 考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大. 柱、锥、台的表面积和体积的求法。 柱体、锥体和台全的全积,台体与术体和锥体之间的转换关系。 适用年级 高二 课时时长(分钟) 60 考情分析 教学重点 教学难点 教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容
二、知识讲解
考点/易错点1 柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 面 积 S侧=2πrh 体 积 V=Sh=πr2h 111V=3Sh=3πr2h=3πr2l2-r2 圆台 S侧=π(r1+r2)l S侧=Ch 1S侧=2Ch′[来源:Z。xx。k.Com]圆锥 S侧=πrl 11V=3(S上+S下+S上S下)h=32π(r21+r2+r1r2)h 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 V=Sh 1V=3Sh 1V=3(S上+S下+S上S下)h 4V=3πR3 1S侧=2(C+C′)h′ S球面=4πR2 1 / 13
考点/易错点2 几何体的表面积
(1)棱柱、
第27讲表面积与体积(一)
表面积与体积(一)
专题简析:
小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高水平的空间想象能力。因此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式作适当的变形,养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:
(1)充分利用正方体六个面 的面积都相等,每个面都是正方形的特点。 (2)把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。
(3)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合起来。
例题1:
从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?
这是一道开放题,方法有多种:
①按图27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--11
②按图27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2
③按图27-3所示,挖通某
立体几何求体积大题
立体几何中有关体积问题
一、知识归纳
1、柱体体积公式:V?S.h
2、椎体体积公式:V?13S.h 3、球体体积公式:V?433?R
二、点到平面的距离问题 求解方法:
1、几何法:等体积法求h
2、向量法: 点A到面?的距离d?AB?nn
?其中,n是底面的法向量,点B是面?内任意一点。题型分析:
1、如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?BC,AB?BB1AC?BC?BB1?2,D为AB中点,且CD?DA1
(1)求证:BB1?平面ABC (2)求证:BC1∥平面CA1D (3)求三棱椎B1-A1DC的体积
A1C1 B 1 AC D B
2、如图,在四棱锥E?ABCD中,?ADE是等边三角形,侧面ADE?地面ABCD,AB∥DC,且
BD?2DC?4,AD?3,AB?5.
(1)若F是EC上任意一点,求证:面BDF?面ADE (2)求三棱锥C?BDE的体积。
E F C D
AB
3、如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为
DD1、DB的中点。
(1)求证:EF∥平面ABC1D1 (2)求证EF?B1C (2)求三棱锥B1?EFC的体积。 D1C1
AB11 E D C F AB
各种图形体积与面积计算公式
各种图形计算公式表 名称 图形 计算公式 尺寸说明
长方形
V=abh S=2(abahbh S=2h(ab =√aabbhh
a、b、h---边长 O---底面对角线交点 V(体积、F(底面积、S(面积、S 侧表面积
三棱体
V=Fh S=(abch2F S=(abch
a、b、c---边长 h=高 F=底面积 O=底面中线交点
棱锥
V=Fh S=nfF S=nf
f---一个组合三角形的面积 n---组合三角形的个数 O---锥底各对角线交点 F---棱锥的底面积 h---棱锥的高
棱台
V=h(FF2√FF2 S=anFF2 S=an
F、F2---两平行底面的面积 h---底面间的距离 a---一个组合梯形的面积 n---组合梯形的个数
圆柱和 空心圆 柱
园柱V=πh S=2πh2π S=2πh 空心直园柱V=πh(=2πh S=2π(h2π( - S=2π(h;
---外半径 ---内半径 ---柱壁厚度 ---平均半径 Si---内外侧面积
各种图形计算公式表
斜截直 圆柱
h---最小高度 h
等体积法求点到平面距离
等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,即要将所要求的垂线段置于一个四面体中,其中四面体的一个顶点为所给点,另外三点位于所给点射影平面上,这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式
1V?Sh求出点到平面的距离h。在常规方法不能轻松获得结果的情况下,如果能用
3到等体积法,则可以很大程度上提高解题效率,达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时,首选此方法。下面用等体积法求解例子.
??的距离 例:所示的正方体ABCD?A?B?C?D? 棱长为a,求点A?到平面ABD
?垂直于平面ABD??于点H,则AH?长度为所解法(等体积法):如图所示,作AH???,易见底面ABD??的高为AH?,底面ABD???的高为AA?。对求。对于四面体AABD???的体积而言有: 四面体AABDVA?A?B?D??VA??AB?D?
11AA??S?A?B?D????AA?S?AH?S即有: ?A?B?D??AB?D?,也即: AH?33S?AB?D???为正三角形,?AB?D??600,进而可求得 由AB??B?D
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积(2)
导学案
§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(2)
班级 姓名 时间
1. 了解柱、锥、台的体积计算公式;
2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决 2526
复习1:多面体的表面积就是___________________ 加上___________.
复习2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_____、______、_______;若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是r,圆台下底面的半径是r ,母线长都为l,则S圆柱 _______________________,
S圆锥 ___________,S圆台 __________________.
引入:初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V Sh(S为底面面积,h为高),是否柱体的体积都是这样求呢?锥体、台体的体积呢?
二、新课导学 ※ 探索新知
新知:经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)
柱体体积公式为: 锥体体积公式为: 台体体积公式为:
反思:思考下列问题
⑴比较柱体和锥体的体积公式,你发现什么结论?
⑵比较柱体、锥体、台体的体积公式,你能发现三者之间的关系吗?
※ 典型例题
例1 如图(1)所示,