概率论无偏估计量例题

定义

无偏估计：估计量的平均值等于真实值，即每次估计值可能大于或小于真实值，但不一定总是大于或小于真实值。

估计量的评价标准

（1）没有偏见

（2）有效性是指估计量与总体参数之间的离散程度。如果两个估计量均无偏，则分散度较小的估计量相对有效。换句话说，尽管每个估计都将大于或小于真实值，但偏差较小的估计更好。

（3）一致性，也称为一致性，是指随着样本量的增加，估计量接近总体参数的真实值。

为什么方差的分母为n-1？

结论：首先，问题本身的概念是混乱的。

如果所有数据都是已知的，则可以直接计算均值和方差。但是对于随机变量x，我们需要估算其均值和方差，然后使用分母为n-1的公式估算其方差。因此，如果分母为n-1，则可以无偏估计差异（而不是方差）。

因此，问题应该变为：为什么随机变量n-1的方差估计的分母是？

如果我们已经知道所有数据，那么我们可以找到平均值μ，σ，它直接是分母n的常规公式，但这不是估计！

现在，对于随机变量x，我们需要估计其期望值和方差。

预期估计值是样本的平均值

现在，在估计X的方差时，如果我们事先知道实际期望μ，则根据方差的定义：\ [E [（X_i-μ）^ 2] = \ frac {1} {n} \ sum_ i ^ n {（X_i-μ）^ 2} =σ

马鞍山师专数学教研室（韩海燕） 概率论与数理统计的起源和发展

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们一起研究了默勒提出的关于骰子赌博的问题，于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变

量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论

第三章估计理论

什么是“估计”？

通俗解释：对事物做大致的判断

专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信息进行加工、处理获得结果的过程。

3.1引言3.1 引言

根据研究对象的不同估计分为二种

参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量 波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论

与信号参量估计相关的理论

最佳估计

一定准则下的“最好”估计

应用领域

通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制

3.1.1估计的数学模型x参量空间、观测空间、概率转换、估计准则p(x|θ)概率转换估计准则 ( x)θ

θ

Z

参量空间

观测空间

x由于估计准则的不同，构成估计量的方法也不同，如最小方差无偏估计、最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计和线性最小均方误差估计等。

3.1.2  估计量的性质质

假设得到N个观测样本数据为：

x[n]=θ+w[n]n=0,1,…,N 1

式中，θ为待估计参量，w[n]是观测噪声。

,获估计的任务就是利用观测样本数据x[n]构造估计量θ

后，通常需要对θ 的质量进行评价,这就需要研得估计量θ

究估计量的主要性质。

也是一

第三章估计理论

什么是“估计”？

通俗解释：对事物做大致的判断

专业解释：通过一定的技术手段获得关于被估计事件、参数、过程的相关信息，再对这些信息进行加工、处理获得结果的过程。

3.1引言3.1 引言

根据研究对象的不同估计分为二种

参量估计：被估计的对象是随机变量或非随机的未知量 波形估计：被估计的对象是随机过程或非随机的未知过程 信号参量估计理论

与信号参量估计相关的理论

最佳估计

一定准则下的“最好”估计

应用领域

通信系统、雷达系统、语音、图像处理、自动控制

3.1.1估计的数学模型x参量空间、观测空间、概率转换、估计准则p(x|θ)概率转换估计准则 ( x)θ

θ

Z

参量空间

观测空间

x由于估计准则的不同，构成估计量的方法也不同，如最小方差无偏估计、最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计和线性最小均方误差估计等。

3.1.2  估计量的性质质

假设得到N个观测样本数据为：

x[n]=θ+w[n]n=0,1,…,N 1

式中，θ为待估计参量，w[n]是观测噪声。

,获估计的任务就是利用观测样本数据x[n]构造估计量θ

后，通常需要对θ 的质量进行评价,这就需要研得估计量θ

究估计量的主要性质。

也是一

习题二答案

1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可通过求概率

（x取任意的值）求得X的分布函数

;

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数积分可通过对

求导，即求得密度函数

,可通过

,

,求得分布函数

（对一切

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X≤3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2，3，?12

, k=2,3,?12

3. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：

,

4. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布 解：X 的可能取值为0,1,2,3 车在第i个路口首次遇到红灯

浅谈正态分布

摘要：正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。它概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数——平均值和方差决定。它是一种最常见的连续性随机变量的概率分布，其概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布越集中在均值附近。其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 关键词：高斯分布、概率分布、钟形曲线 一．正态分布的由来

正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。这是历史上第一次提到所谓“元误差学说”——误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成。[1]

拉普拉斯所指出的这一点有重大的意义，在于他给误差的正态理论一个更自然合理、更令人信

1.某人投篮两次，设事件A=“第一次投中”，B=“第二次投中”， 试问事件A?B表示 ________ 两次都未投中

2.设A,B,C是三个事件,用A,B,C的运算关系表示事件A,B,C中至少有一个发生C

A.ABC B.ABC C.A?B?C D.ABC

3.A，B，C为三个事件，用A，B，C表示三件事不都发生为D A. ABC B. A?B?C C. ABC D. ABC

4.A，B，C为三个事件，用A，B，C表示事件：A不发生，且B、C中至少有一事件发生D

A． ABC B． ABC C． ABC D． A(B?C)

5.A，B，C为三个事件，试用A，B，C表达事件：三件事至少有一个发生___________

A?B?C

6. 打靶3发，事件Ai表示“第i发击中”(i=1,2,3),那么事件A=A1∪A2∪A3表示B

A.三发全命中 B.三发中至少有一发命中 C. 三发都没有命中 D.三发不都命中 7.设A，B，C为三个事件，则ABC表示 D

A. A，B，C三个事件恰好有一个发生 B. A

《概率论》课后练习（一）

第一章§1-1随机事件与概率

班级 姓名 座号 成绩

一．填空题（每空1.6分,共计8分）

1．一份试卷上有6道题。某学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。现观察该学生做完试卷他答对的题数，则样本空间??____________________。

2．十件产品中三件次品，每次从中取1件（不放回抽样）直到将三件次品都取出，记录抽取到的正品数；则样本空间??_______________ 。

3. 一口袋中有许多红色、白色、蓝色的乒乓球，在其中任取出4 只，观察它们具有颜色的种数。则样本空间??______________________。

4..设某人向靶子射击3次，用 Ai表示“第i次射击击中靶子” (i?1,2,3)，试用语言描述下列事件：(1)A1?A2?A3 (2) A1?A2 二． 单项选择题（每小题2,共计8

概 率 论 作 业 本

姓名： 任课教师：

专业： 班级： 学号：

黑龙江八一农垦大学文理学院数学系

第一章 随机事件与概率

1、设A、B、C为已知事件，用A、B、C表示以下事件: (1) A、B发生，C不发生 (2) A、B、C都不发生 (3)

A、B、C至少有一个发生 (4) A、B、C恰有一个发生

(5) A、B、C至多有一个发生 （6）A、B、C至少有两个发生

2、设有一批产品共有100件，其中95件合格品，5件次品。从中任取10件，试求： （1）样本空间所含基本事件个数n。

（2）设A1?\所取10件全是合格品\ 所含基本事件个数m1。

（3）设A2?\所取10件恰有两件次品\所含基本事件个数m2。

3、把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率。

4、一盒中装有60个零件。其中甲厂生产的占个，求其中恰有一支是甲厂生产的概率。

1

12，乙厂生产的占。现随机地从盒中取3 335、一份试卷上有6道试题。某

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B?A)＝ 3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(A?B)=0.7,则?? 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)kA=______________

7. 已知随机变量X的密度为f(x)??(k?1,2,???)则

?ax?b,0?x?1,且P{x?1/2}?5/8,则

0,其它?a?________ b?________