不动点法求数列通项详细推导过程

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1 用不动点法求递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南

（安徽省岳西中学 246600）

1．通项的求法 为了求出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?=

+1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有c t k t n n +?=+1 （k ≠0）,

∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,

由kx+c=x ?x=

k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k

c t n

观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结!

1 数列的通项公式

教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用

1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时.

教 法:讨论、讲练结合.

第一课时

一．常用方法与技巧：

（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数.

（2）运用好公式： 1

1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?

快速练习:

1.写出下面数列通项公式（记住）：

1,2,3,4,5,… =

n a ______________.

1,1,1,1,1,… =

n a ______________.

1,-1,1,-1,1,… =

n a ______________.

-1,1,-1,1,-1,… =

n a ______________

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例

递推式求数列通项公式常见类型及解法

甘肃武威第六中学 李立德

对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化

成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。下面分类说明。 一、

型

例1. 在数列{an}中，已知，求通项公式。

解：已知递推式化为，即，

所以。

将以上个式子相加，得

，

所以二、

型

。

例2. 求数列的通项公式。

解：当，

即

当三、例3. 在数列解法1：设于是，得比数列。 所以有

。 型 中，

，所以。

，求

，对比

。

，得

。

，以3为公比的等

解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得

为首项，以3为公比的等比数列。 所以四、

型

，因此，数列

是以

，所以。

例4. 设数列解：设

，则

，

，求通项公式。

，

所以，

即。

设这时，所以。

由于{bn}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。

由此得：。

说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。 五、

型

例5. 已知b≠0，b≠±1，

写出用n和b表示an的通项公式。

，

解：将已知递推式两边乘以设

，得，又

，仿类型三，可解得

。

，于是，原递推式化为，故

说明：对于递推式入辅助数列六、

型

，可两边除以，得，引

，然后

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:数列 an 中,a1 1,an 1 2an 1则an ( ) A．2n B．2n 1 C．2n 1 D．2n 1 解法1：an 1 2an 1

an 1 1 2an 2 2(an 1)

又a1 1 2 an 1 1an 1

2

an

1 是首项为2公比为2的等比数列

n 1

an 1 2 2 2, an 2 1,所以选C

nn

解法2

归纳总结：若数列 an 满足an 1 pan q(p 1,q为常数），则令an 1 p(an )来构造等比数列，并利用

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例

三.数列的通项的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，

2．求数列?an?的通项公式. S5?a5解：设数列?an?公差为d(d?0)

2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9，

即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d 得：a1?33333，d? ∴an??(n?1)??n 55555点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）

后再写出通项。 练一练：已知数列3

1111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________； 481632S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：。

Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1．求数列?an?的通项公式。 点评：利用公式an????Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若

?Sn?Sn?1???????n?2能合写时一定要合并．

练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；

②数列{

三.数列的通项的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，

2．求数列?an?的通项公式. S5?a5解：设数列?an?公差为d(d?0)

2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9，

即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d 得：a1?33333，d? ∴an??(n?1)??n 55555点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）

后再写出通项。 练一练：已知数列3

1111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________； 481632S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：。

Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1．求数列?an?的通项公式。 点评：利用公式an????Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若

?Sn?Sn?1???????n?2能合写时一定要合并．

练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；

②数列{

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得以

a121an?12n?1?an2na?1anan33则n，故数列?，??{}是n?1nn22222an2n?22以?1为首项，

32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

3212)2。

an?12n?1n?1?(n?1)32，

所以数列{an}的通项公式为an?(n?评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

{an2}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出nan2n?an2n?32，说明数列

?1?(n?1)32，进而求出数列

{an}的通项公式。

二、利用

an?nn?S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)

n例2．若S和T分别表示数列{a}和{b}的前n项和，对任意正整数

nan??2(n?1)，Tn?3Sn?4n.求数列{bn}的通项公式；

解

?an??2(n?1)?a??41d??2Sn??n2?3n?Tn?3Sn?4n??3n2?5n： …

…2分 当n?1时,T1?b1??3?5??8 当n?2时,bn?Tn?Tn?1??

递推式求数列通项公式常见类型及解法

递推数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列给 予解决，由于递推数列的多变性，这里介绍总结一些常见类型及解法。 一、公式法（涉及前n项的和） 已知sn?f(n)

?S1?????(n?1) ?an???Sn?Sn?1???(n?2)注意：已知数列的前n项和，求通项公式时常常会出现忘记讨论n?1的情形而致错。

例1.已知数列{an}前n项和Sn?2n2?3n?1，求数列{an}的通项公式。 解：当n=1时，a1?s1?4，

当n?2时，an?sn?sn?1?(2n2?3n?1)?[2(n?1)2?3(n?1)?1]?4n?1，

?4?1?1?5?a1

?an?4,(n?1) ???4n?1,(n?2)练习：已知数列{an}前n项和Sn?2n?1，求数列{an}的通项公式。答案：an二、作商法（涉及前n项的积）

已知a1?a2?a3......?an?f(n)

?an?f(1).????(n?1)? ??f(n)???(n?2)??f(n?1)?3,(n?1) ??n?12,(n?2)?例2.已知数列{an}中a1?1,n?2时a2?a3??????an?n2,试求