数学三考常微分方程的应用题

〈常微分方程》应用题及答案

应 用 题(每题10分)

1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有

()()()f x y f x f y +=，求()f x 。

２、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件

()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=

（１）求()F x 所满足的一阶微分方程；

(２）求出()F x 的表达式。

3、已知连续函数()f x 满足条件320()3x x t f x f dt e ??=+ ???

?,求()f x 。

4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞

>=，且满足110()lim ()h x h f x hx e f x →??+ ?= ? ???

,求()f x 。 ５、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2

f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 111()()()xt

x t

f u du t f u du x f u du =+???,求()f x 。 6、求连续函

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

1

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

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Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

常微分方程的实际应用

于萍

摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。

关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

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Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal dif

常微分方程试题——证明题

证明题

1. 试证：如果?(t)是

dXdt?AX满足初始条件?(t0)??的解，那么

.

?(t)?expA(t?t0)?2. 设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式W(x)?C，其中C为常数．

3. 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组

dXdt?AX?Cemt，有一解形如：?(t)??yPemt，其中C,P是常数向量.

为线性方程的充

dydx4. 设f(x,y)及?f连续,试证方程dy要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

5. 设f(x)在[0,??)上连续，且xlim???的任意解y?y(x)均有limy(x)?0x????f(x,y)dx?0求证：方程f(x)?0，

?y?f(x).

6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它

的通解.

7. n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解.

8. 设y??(x)是一阶非齐次线性方程于区间I上的任一解，?(x)是其对应一阶齐次线性方程于区间I上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：

y?C?(x)??(x)

是一阶非齐次线性方程于区间I上的全部解的共同表达式。

9. 设n?n矩阵函数A1(t

微分方程应用

1 引言

常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.

数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题.

因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介

通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

同济大学五版高等数学学习资料

u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

目 录

摘要 .................................................................................................... 1 1引 言.............................................................................................. 2 2 常微分方程的发展概况................................................................... 2 3 数学建模简介 ................................................................................. 3 4 常微分方程和数学建模结合的特点 ................................................ 3 5 常微分方程在数学建模中的应用.......................... 3 5.1 建立微分方程的方法 .........

第六章 常微分方程的数值解法

§6.0 引言

§6.1 算法构造的主要途径 §6.2 Runge-Kutta Method算法 §6.3 线性多步法

§6.4 线性多步法的一般形式 §6.5 算法的稳定性、收敛性

§6.0 引 言

1． 主要考虑如下的一阶常微分方程初值问题的求解:

?dy?dx?f?x,y????y?x0??y0??

微分方程的解就是求一个函数y=y(x)，使得该函数满足微分方程并且符合初值条件。 2. 例如微分方程:

xy'-2y=4x ；初始条件: y(1)=-3。

于是可得一阶常微分方程的初始问题

???y??2y??x4?y(1)??3。

显然函数y(x)=x2-4x满足以上条件,因而是该初始问题 的微分方程的解。

3. 但是,只有一些特殊类型的微分方程问题能

够得到用解析表达式表示的函数解，而大量的微分方程问题很难得到其解析解，有的甚至无法用解析表达式来表示。因此，只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。 4． 微分方程的数值解：设微分方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，初始点x0=a，将[a,b]进行划分得一系列节点x0 , x1 ,...,xn，其中a= x0< x1<…< xn =b。

y(x)的解析表达式不容易得到或根本无

关于数值分析的

常微分方程的数值解法

一、题目 2x y y 求解初值问题 y

y 0 1 0 x 1 ，10等分区间，求节点处的近似值，并对所求结

果与分析解的结果进行比较。

二、方法

欧拉法

三、程序

function E=euler(f,a,b,y0,N)

x=zeros(1,N+1);

y=zeros(1,N+1);

x(1)=a;

y(1)=y0;

h=(b-a)/N;

for n=1:N

x(n+1)=x(n)+h;

y(n+1)=y(n)+h*feval(f,x(n),y(n));

end

T=[x',y']

四、结果

>> format compact

>> euler(inline('y-2*x/y'),0,1,1,10)

T =

0 1.0000

0.1000 1.1000

0.2000 1.1918

0.3000 1.2774

0.4000 1.3582

0.5000 1.4351

0.6000 1.5090

0.7000 1.5803

0.8000 1.6498

0.9000 1.7178

1.0000 1.7848

>> y=[1.0000 1.1000 1.1918 1.2774