线性泛函的核空间

目 录

1引言 ............................................................................................................................................ 1 2线性赋范空间....................................................................................................................... 1

2.1预备知识............................................................................................................................. 2 2.2线性赋范空间的一些性质 .................................................................................................

第二章 度量空间与赋范线性空间

第2章 度量空间与赋范线性空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n维欧几里得空间Rn的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念

在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d，即对

x,y?R,d(x,y)?x?y。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，

并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X是一个非空集合，?(?,?)：X?X??0,??是一个定义在直积X?X上的二元函数，如果满足如下性质：

（1） 非负性 x,y?X,?(x,y)?0,?(x,y?0?x?y； （2） 对称性 x,y?X,?(x,y)??(y,x)

（3） 三角不等式 x,y,z?X,?(x,y)??(x,z)??(z,y)；

则称?(x,y)是X

第二章 度量空间与赋范线性空间

第2章 度量空间与赋范线性空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n维欧几里得空间Rn的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念

在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d，即对

x,y?R,d(x,y)?x?y。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。

【定义2.1】 设X是一个非空集合，?(?,?)：X?X??0,??是一个定义在直积X?X上的二元函数，如果满足如下性质：

（1） 非负性 x,y?X,?(x,y)?0,?(x,y?0?x?y； （2） 对称性 x,y?X,?(x,y)??(y,x)

（3） 三角不等式 x,y,z?X,?(x,y)??(x,z)??(z,y)；

则称?(x,y)是X

泛函分析题1_4线性赋范空间20070502

泛函分析题1_4线性赋范空间p39

1.4.1 在2维空间?2中，对每一点z = (x, y)，令

|| z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i ( i = 1, 2, 3, 4 )都是?2的范数．

(2) 画出(?2, || · ||i ) ( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形．

(3) 在?2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B = (0, 1)．试在上述四种不同的范数下求出?OAB三边的长度．

证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设z = (x, y), w = (u, v)??2，s = z + w = (x + u, y + v )，

|| z ||1 + || w ||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |)

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

2012泛函分析复习资料 一、定义

1. Page1 线性空间 2. Page2 Hamel基

3. Page3 凸集，凸包coE 4. Page4 度量空间

5. Page10 范数，线性赋范空间 6. Page12 内积，内积空间 7. Page14 平行四边形公式

8. Page23 Cauchy列，完备空间，Banach空间，Hilbert空间 9. Page27 稠密，无处稠密，第一纲集，第二纲集 10. page30 线性算子，线性泛函，N（T） 11. Page31 压缩映射，不动点

12. Page34同构映射，Page35 等距同构

13. page37 紧集，相对紧集，ε网，完全有界集 二、课后习题

1解答：当p?0时，d(x,y)?x?y不满足正定性，R在d下不是度量空间， 当p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，

当0?p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，

若令x?y?d(x,y)，仅当p?1时，?满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在?下是赋范空间。

2证明：

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

密度泛函理论, Density functional theory (DFT) 是一种研究多电子体系电子结构的量子力学方法。密度泛函理论在物理和化学上都有广泛的应用，特别是用来研究分子和凝聚态的性质，是凝聚态物理和计算化学领域最常用的方法之一。

电子结构理论的经典方法，特别是Hartree-Fock方法和后Hartree-Fock方法，是基于复杂的多电子波函数的。密度泛函理论的主要目标就是用电子密度取代波函数做为研究的基本量。因为多电子波函数有 3N 个变量（N 为电子数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，无论在概念上还是实际上都更方便处理。

虽然密度泛函理论的概念起源于Thomas-Fermi模型，但直到Hohenberg-Kohn定理提出之后才有了坚实的理论依据。Hohenberg-Kohn第一定理指出体系的基态能量仅仅是电子密度的泛函。

Hohenberg-Kohn第二定理证明了以基态密度为变量，将体系能量最小化之后就得到了基态能量。

最初的HK理论只适用于没有磁场存在的基态，虽然现在已经被推广了。最初的Hohenberg-Kohn定理仅仅指出了一一对应关系的存在，但是没有提供任何这种精确的对应关系。正是在这些精

泛函分析知识点小结及应用

§1 度量空间的进一步例子

设X是任一非空集合，若对于?x,y?且满足 1．非负性：dX，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，

?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

?x,y??d?x,z?+d?y,z?， 则称(?，d)

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对?x,y,z??，都有d为度量空间，?中的元素称为点。

1x 欧氏空间nR 对R中任意两点2nn?2?d?x,y?=???xi?yi??.

1??i??表示闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b? C?a,b空间 C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?. ?a?t?b??1p?pp???. l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1??xk??1p?p??pk??. 设x??xk?k?1，y??yk?k?1?l，定义 d?x,y?=???xi?yi??i?1??例1 序列空间S

??x?y?(或复数列?????x?xy?y令S表示实数列)的全体，对，，令 kkkk1k?1k?1. d?x,y?=k1?x?ykkk?

《泛函分析》读书笔记

课程题目：泛函分析 任课教师：高云兰博士 学生姓名：崔继峰 学生学号：20081058

2008年12月10日

《泛函分析》读书笔记

Reading Notes about Functional Analysis

崔继峰

所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不