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主成分分析

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主成分分析的重点

1、掌握什么是主成分分析？ 2、理解主成分分析的基本思想和几何意义？ 3、理解主成分求解方法：协方差矩阵与相 关系数矩阵的差异？ 4、对结果进行正确分析

2014-11-28

2 cxt

5.1 主成分分析的基本思想

一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通

(stone)在1947年关于国民经济的研究。他

曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到

了17个反映国民收入与支出的变量要素，例

如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共

支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。

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在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度， 用三新变量就取代了原17个变量。根据经济 学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总 收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退 的趋势F3。

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4 cxt

主成分分析：将原来较多的指标简化为少数 几个新的综合指标的多元统计方法。 主成分：由原始指标综合形成的几个新指标。 依据主成分所含信息量的大小成为第一主成 分，第二主成分等等。

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5 cxt

主成分分析得到的主成分与原始变量之间的关 系：

1、主成分保留了原始变量绝大多数信息。

#read data

data=read.csv("edited_life_history_data.csv")

head(data)

life.history <- read.csv("edited_life_history_data.csv")

dose <- factor(c("1 Gy", "2 Gy", "4 Gy", "5.5 Gy", "Sham"))

dose <- relevel(dose, "Sham")

head(life.history)

colnames(life.history)[1]="Group"

life.history$dose = relevel(life.history$Group,"Sham")

lh <- data.frame(life.history$Average.Egg.Size..LxW.,

life.history$Early.Life.Hatching.Success....hatche

摘要

主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)是一种基于代数特征的人脸识别方法，是一种基于全局特征的人脸识别方法， 它基于K-L分解。基于主成分分析的人脸识别方法首次将人脸看作一个整体，特征提取由手 工定义到利用统计学习自动获取是人脸识别方法的一个重要转变。简单的说， 它的原理就是将一高维的向量，通过一个特殊的特征向量矩阵，投影到一个低维的向量空间中，表示为一个低维向量，并不会损失任何信息。即通过低维向量和特征向量矩阵，可以完全重构出 所对应的原来高维向量。特征脸方法就是将包含人脸的图像区域看作是一种随机向量，因此 ，可以采用K-L变换获得其正交K-L基底。对应其中较大特征值的基底具有与人脸相似的形状 ， 因此又称为特征脸，利用这些基底的线性组合可以描述、表达和逼近人脸图像，因此可以进行人脸识别。识别过程就是将人脸图像映射到由特征脸张成的子空间上，比较其与己知人脸在特征空间中的位置，从而进行判别。

这次设计主要是完成了基于主成分分析(PCA)方法的人脸识别，PCA方法的基本原理是：利用离散K-L变换提取人脸的主要成分，构成特征脸空间，识别时把测试样本投影到该空间，构成一组投影系数，通过与特

摘要

主成分分析(Principal Component Analysis，PCA)是一种基于代数特征的人脸识别方法，是一种基于全局特征的人脸识别方法， 它基于K-L分解。基于主成分分析的人脸识别方法首次将人脸看作一个整体，特征提取由手 工定义到利用统计学习自动获取是人脸识别方法的一个重要转变。简单的说， 它的原理就是将一高维的向量，通过一个特殊的特征向量矩阵，投影到一个低维的向量空间中，表示为一个低维向量，并不会损失任何信息。即通过低维向量和特征向量矩阵，可以完全重构出 所对应的原来高维向量。特征脸方法就是将包含人脸的图像区域看作是一种随机向量，因此 ，可以采用K-L变换获得其正交K-L基底。对应其中较大特征值的基底具有与人脸相似的形状 ， 因此又称为特征脸，利用这些基底的线性组合可以描述、表达和逼近人脸图像，因此可以进行人脸识别。识别过程就是将人脸图像映射到由特征脸张成的子空间上，比较其与己知人脸在特征空间中的位置，从而进行判别。

这次设计主要是完成了基于主成分分析(PCA)方法的人脸识别，PCA方法的基本原理是：利用离散K-L变换提取人脸的主要成分，构成特征脸空间，识别时把测试样本投影到该空间，构成一组投影系数，通过与特

#read data

data=read.csv("edited_life_history_data.csv")

head(data)

life.history <- read.csv("edited_life_history_data.csv")

dose <- factor(c("1 Gy", "2 Gy", "4 Gy", "5.5 Gy", "Sham"))

dose <- relevel(dose, "Sham")

head(life.history)

colnames(life.history)[1]="Group"

life.history$dose = relevel(life.history$Group,"Sham")

lh <- data.frame(life.history$Average.Egg.Size..LxW.,

life.history$Early.Life.Hatching.Success....hatche

问题

表1为某地区农业生态经济系统各区域单元相关指标数据，运用主成分分析方法，用更少的指标信息较为精确地描述该地区农业生态经济的发展状况。

表1 某农业生态经济系统各区域单元的有关数据

x：经济作

x 4：农民人x 5：人均粮 6x：耕地占x 8：果园与x 9：灌溉田

样本x1：人口密度x 2：人均耕x 3：森林覆物占农作物 7

均纯收入(元食产量 (kg/土地面积比林地面积之占耕地面积2

序号 (人/km) 地面积(ha) 盖率(%) 播面比例

/人) 人) 率(％) 比(％) 之比(％)

(％) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

363.912 141.503 100.695 143.739 131.412 68.337 95.416 62.901 86.624 91.394 76.912 51.274 68.831 77.301 76.948 99.265 118.505 141.473 137.761 117.612 122.781

0.352 1.684 1.067 1.336 1.623 2.032 0.801 1.652 0.841 0.812 0.858 1.0

引言：

主成分分析也称主分量分析，是由霍特林于1933年首先提出的。主成分分析是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时使得问题得到简化，提高分析效率。本文用主成分分析的方法对某市14家企业的经济效益进行分析。[1]

在处理涉及多个指标问题的时候，为了提高分析的效率可以不直接对p个指标构成的p维随机向量x=(x1，x2，x3，……，xp)进行分析，而是先对向量x进行线性变换，形成少数几个新的综合变量，使得个综合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息，这样在意损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构，提高分析效率的目的。

主成分的基本思想就是在保留原始变量尽可能多的前提下达到降维的目的，从而简化问题的复杂性并抓住问题的主要矛盾。而这里对于随机变量x1，x2，

x3，……，xp而言，其协方差矩阵或相关矩阵正是对各变量

空气污染和径赛纪录问题分析

摘 要 本文运用主成分分析法，主要讨论空气污染和女子径赛纪录的数据分析问题，并解释主成分的实际意义。

针对问题一，以中午12点的7个空气污染因子为变量，建立总体样本。分别从样本协方差矩阵和相关矩阵出发，运用MATLAB的princomp函数作主成分分析。再比较二者的特征向量和相关系数，可知由相关矩阵所得的前三个主成分更能够反映原始数据的变化情况。

针对问题二，以径赛项目上的7个女子纪录为变量，建立总体样本。首先将数据标准化，运用MATLAB中的cov函数得出相关矩阵；并利用princomp函数求出矩阵的特征值、特征向量、累计贡献率和主成分得分。其次结合权重和相关系数，得出第一主成分综合反映了各个国家和地区的运动员优秀程度，第二主成分反映国家的相对实力。最后，根据第一主成分得分对各个国家排序，结果与原始数据中的直观看法基本吻合。

关键词 空气污染；径赛纪录；主成分分析

一、问题重述

生活中往往会遇到涉及众多变量的问题，如某省的居民生活质量分析、机械类各企业的经济效益、体育成绩统计分析等问题。一般来说，每个变量都可以提供一定的信息，但其重要性有所不同，因此会选择基于降维的主成分分析法来解决此类问题，现根据主成分分

姓名：XXX 学号：XXXXXXX 专业：XXXX 用SPSS19软件对下列数据进行主成分分析：

… …

一、相关性

通过对数据进行双变量相关分析，得到相关系数矩阵，见表1。

表1 淡化浓海水自然蒸发影响因素的相关性

由表1可知：

辐照、风速、湿度、水温、气温、浓度六个因素都与蒸发速率在0.01水平上显著相关。

分析：各变量之间存在着明显的相关关系，若直接将其纳入分析可能会得到因多元共线性影响的错误结论，因此需要通过主成份分析将数据所携带的信息进行浓缩处理。

二、KMO和球形Bartlett检验

KMO和球形Bartlett检验是对主成分分析的适用性进行检验。

KMO检验可以检查各变量之间的偏相关性，取值范围是0～1。KMO的结果越接近1，表示变量之间的偏相关性越好，那么进行主成分分析的效果就会越好。实际分析时，KMO统计量大于0.7时，效果就比较理想；若当KMO统计量小于0.5时，就不适于选用主成分分析法。

Bartlett球形检验是用来判断相关矩阵是否为单位矩阵，在主成分分析中，若拒绝各变量独立的原假设，则说明可以做主成分分析，若不拒绝原假设，则说明这些变量可能独立提供一些信息，不适合做主成分分析。

由表2可知：

1、

主成分分析操作步骤

1）先在spss中录入原始数据。

2）菜单栏上执行【分析】——【降维】——【因子分析】，打开因素分析对话框，将要分析的变量都放入【变量】窗口中。

3）设计分析的统计量

点击【描述】：选中“Statistics”中的“原始分析结果”和“相关性矩阵”中的“系数”。（选中原始分析结果，SPSS自动把原始数据标准差标准化，但不显示出来；选中系数，会显示相关系数矩阵）然后点击“继续”。

点击【抽取】：“方法”里选取“主成分”；“分析”、“输出”、“抽取”均选中各自的第一个选项即可。

点击【旋转】：选取第一个选项“无”。（当因子分析的抽取方法选择主成分法时，且不进行因子旋转，则其结果即为主成分分析）

点击【得分】：选中“保存为变量”，方法中选“回归”；再选中“显示因子得分系数矩阵”。

点击【选项】：选择“按列表排除个案”。

4）结果解读

5）A. 相关系数矩阵：是6个变量两两之间的相关系数大小的方阵。通过相关系数可以看到各个变量之间的相关，进而了解各个变量之间的关系。

相關性矩陣

相關

食品 衣着 燃料 住房 交通和通讯 娱乐教育文化

食品 1.000 .692 .319 .760 .738 .556

衣着

.692 1.000 -.