如何通过二次函数图像判断a b c的符号

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1

二次函数：图象位置与?,,,c b a的符号

【学习目标】掌握抛物线的()0

2≠

+

+

=a

c

bx

ax

y图像与系数?,,

,c

b

a的关系

【学习重点】通过抛物线的位置判断

?,,

,c

b

a的符号．

【学习难点】通过

?,,

,c

b

a的符号判断抛物线的位置

【学习过程】前面，我们已经学过二次函数c

bx

ax

y+

+

=2的一些基本性质，现在我们简单地回顾一下这些性质：二次函数c

bx

ax

y+

+

=2的图象是,应用配方法可将其化为=

y．其中=

h，=

k．其图象与函数2

ax

y=的图象的相同，开口方向相同，那么，我们今天一起来学习抛物线的位置与?

,

,

,c

b

a之间的关系．上面讲过，对于抛物线来说：

（1）a决定抛物线的开口方向：?

>0

a；?

<0

a．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，0

>

c?抛物线交y轴于；

<

c?抛物线交y轴于；0

=

c?．

（3）ab决定抛物线对称轴的位置，

当b

a,同号时?对称轴在y轴；0

=

b?对称轴为；b

a,异号?对称轴在y轴，简称为．

（4）b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数,当0

4

2>

-ac

b时，抛物线与x轴有交点；当0

4

2=

-ac

b时，抛物线与x轴有交点；当0

4

2<

-ac

b时，抛物线与x轴有交点．【典型例题】一、通过抛物线的位置

二次函数图像—符号确定

1、二次函数f（x）=ax2+bx+c，图象如图（ ）

又由图可知，当X＝-1时，对应的点在第三象限，将X＝-1代入y＝ax2＋bx＋c，得a-b+c＜0

∴将a-b+c＜0与a+b+c=2相减，得 -2b＜-2 b＞1

∴④是错的。

2、二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，则a的取值范围是（ ）

3、如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为直线x=-1．则以下结论错误的

是（ ）

4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是 （只填序号）．①abc＞0；②c=-3a；③b2+ac＞0．

5、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③

2a-b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）

6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，

有下列5个结论：

其中正确的结论有

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二次函数：图象位置与a ，b ，c ，△的符号

（1）a 决定抛物线的开口方向：?>0a ；?<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ?抛物线交y 轴于 ；

0

当b a ,同号时?对称轴在y 轴 ；0=b ?对称轴为 ；b a ,异号

?对称轴在y 轴 ，简称为 ．

（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数,当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴有 交点．

一、通过抛物线的位置判断a ，b ，c ，△的符号．

例1．根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号

（1）a ＋b ＋c_______0（2

）a －b ＋c_______0 （

3）2a －b _______0（4）4a ＋

2b ＋c_______0 二、通过a ，b ，c

，△的符号判断抛物线的位置：

例1．若0,0,0<>

例2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2

+bx+c 经过 象限． 例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 且a ＜0，a-b+c ＞0；则一定有b 2-4ac

二次函数系数符号判断50道

一．选择题（50小题）

1．如图为二次函数y=ax2+bx+（ca≠0）的图象，则下列说法：①abc＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的有（ ）

A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④

3．二次函数y=ax2+bx+（ca≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的有（ ）

A．①②③

B．②④ C．②⑤ D．②③⑤

第1页（共64页）

4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：

①abc＜0；②2a﹣b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2． 其中正确的结论有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个

二次函数中的符号问题

一、基本知识：

（1）二次函数y=ax+bx+c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的.

抛物线的开口向上 抛物线的开口向下 抛物线的形状相同

（2）抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的位置是由 决定的.

2

2

抛物线与y轴相交于正半轴上； 抛物线与y轴相交于原点； 抛物线与y轴相交于负半轴上.

（3）抛物线y=ax+bx+c的对称轴的位置是由 决定的.

对称轴在y轴的左侧；

对称轴在y轴的右侧； 对称轴就是y轴.

（4）抛物线与x轴交点的个数由 决定的.

抛物线与x轴有2个交点； 抛物线与x轴有1个交点；

2

抛物线与x轴有0个交点.

（5）二次函数y=ax+bx+c的值恒大于0（或恒小于0）的条件是: y恒大于0 y恒小于0

（6

数学组宫平

教学目标: 教学目标 1 会用描点法画出二次函数 的图像 开口方向,对称轴 顶点坐标 开口方向 对称轴,顶点坐标 对称轴 3 培养学生经历由具体到一般的探索事物的 规律的过程

y = a( x h) + k2

y = a ( x h) 2 + k 的 2 会说出二次函数图像

复习归纳:完成下列两表 复习归纳 完成下列两表 填表

抛物线

开口方向 对称轴 顶点坐标2

y = 0.5x2

开口向下 开口向下 开口向下

直线X=0 直线

(0,0) (0,1) (0,-1)

y = 0.5x +1

直线X=0 直线

y = 0.5x 12

直线X=0 直线

填表: 填表

抛物线

开口方向 对称轴直线X=0 直线

顶点坐 标(0, 0) (1, 0)

y = 2x

2

开口向上2

y = 2(x 1)

直线X=1 开口向上 直线2

y = 2( x + 1)

直线X=-1 开口向上 直线

(-1, 0)

新课讲授: 新课讲授操作题1:在同一坐标系内 画出函数 操作题 在同一坐标系内,画出函数 在同一坐标系内

1 2 y = x 1 2

1 2 y = ( x + 1) 1 2

1 2 y= x 2的图像. 的图像

指导:(1) 列表时 要合理取值 首先考虑对称性 其次尽量取整 列表时,要合

专题训练(二) 二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：

项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 b＝0 对称轴为y轴 b ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c＝0 经过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 特殊关系 若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0 一、选择题

1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

)

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )

图2－ZT－1

A．a＜0 B．b＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＜0

3．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )

5

A．b≥ B．b≥1或b≤－1

4C．b≥

专题训练(二) 二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：

项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 b＝0 对称轴为y轴 b ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c＝0 经过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 特殊关系 若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0 一、选择题

1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

)

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )

图2－ZT－1

A．a＜0 B．b＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＜0

3．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )

5

A．b≥ B．b≥1或b≤－1

4C．b≥

专题训练(二) 二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：

项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 b＝0 对称轴为y轴 b ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c＝0 经过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 特殊关系 若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0 一、选择题

1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

)

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )

图2－ZT－1

A．a＜0 B．b＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＜0

3．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )

5

A．b≥ B．b≥1或b≤－1

4C．b≥

专题训练(二) 二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：

项目 字母的符号 图象的特征 字母 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 b＝0 对称轴为y轴 b ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c＝0 经过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点 b2－4ac<0 与x轴没有交点 当x＝1时，y＝a＋b＋c 当x＝－1时，y＝a－b＋c 特殊关系 若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0 若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0 一、选择题

1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

)

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )

图2－ZT－1

A．a＜0 B．b＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＜0

3．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )

5

A．b≥ B．b≥1或b≤－1

4C．b≥