利用几何知识求函数最值的方法

利用几何知识求函数最值

数学与应用数学专业2011级 艾 英

摘要：解析几何是用代数研究几何，反过来，若能根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解几模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法。这对于开拓思路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益。在下面我们就来探讨当所给函数具有某种几何意义时，求函数的最值采用建立解析几何基本模型的方法，把函数的最值转化为求两点间的距离，两点连线的斜率，点到直线的距离，直线的截距，定比分点公式，二次曲线等。通过上面的方法使我们在解决某些用代数方法解决函数最值中相当繁琐的问题简化。使解题变得更轻松。

关键字；解析几何；函数；最值；

Geometric kowledge seeking the most value function

Ludengrong

School of Mathematics, Mathematics and Information and Applied Mathematics 2006 Instructor: Zhang Sanhua

Abstract: Algebraic geometry analytic geometry is, i

求函数最值的常用以下方法：

1．函数单调性法

先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．

1

例1 设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.

2【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值． 【解析】 ∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分1

别为loga2a，logaa＝1.∴loga2＝，a＝4.故填4.

2

【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

求二次函数的最值

教学目标： 1.知识与技能：

（1）掌握运用分类讨论和数形结合思想求二次函数的最值。 （2）会利用转化化归思想求解含参数二次函数的最值。 2.过程与方法：

（1）经历由轴定区间定到轴定区间动的类比推理，培养学生类比推理能力。

（2）结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，提高学生的综合能力。 3.情感、态度与价值观：

（1）有机地渗透数形结合、化归等数学思想方法，培养学生良好的思维习惯。

（2）了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重点：运用分类讨论和数形结合思想求二次函数最值 教学难点：求解含参数的二次函数最值 教学过程： 【考纲考情】

二次函数在高考中占有重要的地位，尤其利用二次函数处理最值问题在历年高考中都有不同程度的考查，因此在学习中应给予足够重视。本节课我们主要研究如何借助二次函数的图像和性质求最值。

【知识梳理】

二次函数的图像与性质 2y?ax?bx?c(a?0) （1）

y

对称轴x??b 2ab4ac?b2) 顶点坐标(?,2a4a 在????,??b??上单调递减， 2a?o x 在???b?,???上单调递增。 ?2a?y

一问一答--------最值问题方法

总论

1高中数学求最值有哪些方法？

答：有9种方法：1）配方法 2）判别式法；3）不等式法；4）换元法；5）函数单调性法；6）三角函数性质法；7）导数法；8）数形结合发 ；9）向量法 2 如何将恒成立问题转化为最值问题？

答：1) a?f(x)恒成立，则a?f(x)max 2）a?f(x)恒成立，则a?f(x)min

一元整式函数最值

1、二次函数开口方向、对称轴、所给区间均确定,如何求最值?

答：1）确定对称轴与x轴交点的横坐标是否在所给区间。2）如果在所给区间，一个最值在顶点处取得，另一个最值在与顶点横坐标较远的端点处取得。3）若不在所给区间，利用函数的单调性确定其最值。

2、二次函数所给区间确定，对称轴位置变化，如何求最值?

答：1）移动对称轴，将对称轴平移到定区间的左侧、右侧及区间内讨论，2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。

3、二次函数所给区间变化，对称轴位置确定，如何求最值?

答：分类讨论，分为四种情况：1）对称轴在闭区间左侧；2）对称轴在闭区间右侧3）对称轴在闭区间内且在中点的左侧；4）对称轴在闭区间内且在中点的右侧（或过中点）； 4、二次函数所给区间、对称轴位置都不确定，如何求

利用基本不等式求最值

一、学习目标：

1、理解利用基本不等式求最值的原理

2、掌握利用基本不等式求最值的条件

3、会用基本不等式解决简单的最值问题

二、学习重点与难点：

重点：运用基本不等式求最值

难点：利用基本不等式求最值满足的条件

三、学习方法：自主探究式 四、学习过程：

1、探究一：极值定理

问题1：

a b(a,b R )，已知x y 2(x 0,y 0)，你能求出x y 2

a b(a,b R )，已知x y 2(x 0,y 0)，你能求出x y 2的最小值吗？何时取小值？ 问题2：

的最大值吗？何时取大值？

问题3：已知x 0,y 0

（1）若x y是定值p，求(x y)min，等号何时成立？

（2）若x y是定值s，求(x y)max，等号何时成立？

问题4：你能由问题1—3得出一般结论吗？已知x,y R

则：（1）若积x y p（定值），则和x

y有最小值当日仅当x y时，取“=”号

（2）若和x y s（定值），则积x y有最大值

当日仅当x y时，取“=”号

即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。

自主练习1：①若x 0时，求y x s2 41的最小值. x

1②若x 1，求y x 的最小值. x 1

③若0 x 1，求y x (1 x)的最大值.

2、

《高中数学笔记本》 必修五分册 第三章 不等式 合作才能共赢

1 3.4.1基本不等式

授课类型：新授课

一、新课学习（温故知新）

1、重要不等式：若R b a ∈,，则ab b a 22

2≥+ ,（当且仅当b a =时取“=”） 变形：若R b a ∈,，则2

22b a ab +≤,（当且仅当b a =时取“=”） 2．基本不等式：若,a b R +∈，则ab b a ≥+2

.（当且仅当b a =时取“=”）. 变形如下： ( 1 ) 若,a b R +∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）--------- 积定和最小

( 2 ) 若,a b R +

∈，则22??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）----------和定积最大 注：利用基本不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

3、推广：-------均值不等式

2

112a b a b +≤≤≤+，(当且仅当b a =时取“=”）.

注：利用均值不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

二、专题演练【基本不等式求最值或取值范围】

1.求b= 4a －2

＋a

求三角函数值域及最值的常用方法

（一）一次函数型

或利用：y?asinx?bcosx?a2?b2?sin(x??) 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；

（2）y??2sin(3x??12)?5，y?sinxcosx

（3）函数y?sinx?3cosx在区间[0,?2]上的最小值为 1 ．

（4）函数y?tan(?2?x)(???4?x?4且x?0)的值域是 (??,?1]?[1,??)

（二）二次函数型

利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、及图像法求解。

（2）函数f(x)?cosx?12cos2x(x?R)的最大值等于34．

（3）.当0?x??2时，函数f(x)?1?cos2x?8sin2xsin2x的最小值为 4 ．

（4）.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是 1 ．

（5）.若2?????，则y?cos??6sin?的最大值与最小值之和为____2____．换元

（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解

asinx?b型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ccosx?d

建立模型，巧求最值

引言：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，解决这类问题的基本依据有： （1） “两点之间线段最短”，（2） “垂线段最短”，（3） “三角形两边之差小于第三边”。

一、常用几何模型：

Ⅰ．“将军饮马”模型：

（1）、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：（2）、点A、B在直线m同侧。

APPBA,B在同侧A'A，B在异侧BA

A、A?关于直线m的对称。

2、在直线m、

AAPPA'PAn上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最

BQBQ建立模型巧求最值第 1 页 共 15 页 QBA,B在两直线外侧B'B'都在内侧一内一外小。

又区分为（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧： Ⅱ．台球两次碰壁模型 已知点A位于直线m，n 的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点， 使PA+PQ+QA周长最短.

变式：已知点A、B位于直线m，n 的内侧，在直

线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 小例：?AOB?45

?建立模型巧求最值第 2 页 共 15 页

点P在?AOB内，且OP?10,

维普资讯

3 8

高等数学研究STU DI N ES I COLLEGE M ATH EM ATI CS

V o1 .5. o.3 N Se p., 2 002

利用 Rol l e定理证明时求原函数的若干方法王顺凤 (京气象学院数学系江苏南京 2 0 4 )南 1 0 4证明“ ∈( 6使厂(一 0是微分中值定理应用中的重要题型，常可以用 Rol理来证 j n, ) )”常 l e定明，即将问题转化为求厂(的原函数 F(, F(利用 Rol理来证明 F ( (厂( ) (, ) )对 ) l e定 )即 )在 n 6内存在零点。所以，找原函数 F(是利用这一方法解决问题的关键。对于命题“ ∈ ( 6使 )寻 )了 n,)/ (= 0或 ( ) )= (= 一0” )的证明也常常采用上面的方法。这一方法是学生普遍感到困难的地方，是

教学的难点。文针对这一问题进行了探讨，结了原函数 F(的四种求法，举例说明了在利用本总 )并R l ol理证明上述这类命题时的应用。 e定一

、

观察法

根据函数的求导法则及经验直接观察函数厂(的原函数 F(。 z) )

例 1设厂(在[,]连续， (, )可导，厂( ) ) 0 1上在 01内且 0一厂( ),明