高中函数基本性质总结及典型例题

§1.3 函数的基本性质 1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性

课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．

1．函数的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．

(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________． 2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________． 3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．

1

4．函数y＝的单调递减区间为__________________．

x

一、选择题

1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示． 给出如下命题： ①f(0)＝1； ②f(－1)＝1；

③若x>0，则f(x)<0；

④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( ) A．②③ B．①④ C．

《思跃理科》内部资料——总结人：liyong

常见函数性质汇总

f(x)=b

常数函数 f(x)=b (b∈R)

x 图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线 O

一次函数 f(x)=kx+b (k≠0,b∈R) |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； y f(x)=kx+b

图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0

定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时， 当k<0时

x O 奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性；

反 函 数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周 期 性：无

补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系

2、与曲线函数的联合运用

反比例函数 f(x)=

y b k (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) x图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象

限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：(??,0)?(0,??) 值 域：(??,0)?(0,??)

y f(x)=O k xx 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时

奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身

高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案

一：单项选择题： (共10题,每小题5分,共50分)

1. 已知函数

f(x)?(m?1)x2?(m?2)x?(m2?7m?12)为偶函数，则m的值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

2. 若偶函数f(x)在???,?1?上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

f(?3)?f(?1)?f(2)f(?1)?f(?3)?f(2A.2 B.2)

f(2)?f(?1)?f(?33C.2)f(2)?f(?)?f(?1) D.2

3. 如果奇函数f(x)在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间??7,?3?上是（A.增函数且最小值是?5 B.增函数且最大值是?5 C.减函数且最大值是?5 D.减函数且最小值是?5

4. 设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)?f(x)?f(?x)在R上一定是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5. 函数

f(x)?x(x?1?x?1)是（ ）

A.是奇函数又是减函数

三角函数基本性质

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差

函数的基本性质练习题

一、选择题：

1．下面说法正确的选项

A．函数的单调区间可以是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间(??,0)上为增函数的是

A．y?1

B．y?

（ ）

（ ）

x?2 1?x C．y??x2?2x?1 D．y?1?x2

3．函数y?x2?bx?c(x?(??,1))是单调函数时，b的取值范围 A．b??2 B．b??2 C ．b??2 D． b??2 4．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[?b,?a]有

A．最大值 B．最小值 5．函数y?x|x|?px，x?R是 A．偶函数 B．奇函数 A．f(x1)?f(x2) C．f(x1)?f(x2)

A．[3,8]

B． [?7,?2]

（ ）

（ ）

C ．没有最大值 D． 没有最小值 （ ） C．不具有奇偶函数 D．与p有关 B．f(x1)?f(x2) D．无法确定

（ ）

C．[0,5]

D．[?2,3]

（

三角函数基本性质

1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=

a

b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 （1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差

第二讲 函数的表示法及基本性质

2011.09.25

一、函数的解析式的求法

1．待定系数法求解析式：此方法适合所求函数的类型的解析式的类型已经确定，那么只需列方程求待定系数就可。

例 1.若f

变式 1.已知二次函数的图像过( 1,0),(3,0),(1, 8)，求f(x)的解析式。

2.换元法求解析式：

例 2.

已知f1) x ，求f(x)的解析式。

3.配凑法求解析式：

例 3.

已知f1) x ，求f(x)的解析式。

变式2.已知函数f(x 1) 3x 2，求f(x)的解析式。

4.特殊值代入求解析式：

例 4.已知函数f(x)对任意的实数x,y，都有f(x y) f(x) 2y(x y)，且f(1) 1，求f(x)的解析式。

f f(x) 27x 26，求一次函数f(x)的解析式。

变式3.定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy(x,y R),且f(1) 2, 则f( 3)=_________。

二、函数的基本性质

（一）单调性与最大（小）值

1.单调性与单调区间：

注意：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域中的某个区间，有的函数没有单调性。 例 5.写出下列函数的单调区间

（1）y 2x （2）y

2.常用结论：

（1）函数y

函数的基本性质练习题

一、选择题

1．下面说法正确的选项

（ ）

A．函数的单调区间一定是函数的定义域

B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间( ,0)上为增函数的是

（ ）

A．y 1 B．y x1 x

2

C．y x2 2x 1 D．y 1 x2

3．函数y x2 bx c(x ( ,1))是单调函数时，b的取值范围 （ ）

A．b 2 B．b 2 C ．b 2 D． b 2 4．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[ b, a]有

（ ）

A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数y x|x| px，x R是

（ ）

A．偶函数

B．奇函数 C．不具有奇偶函数

D．与p有关

6．函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1 (a,b),x2 (c,d)，且x1 x2那么（A．f(x1) f(x2) B．f(x1) f(x2) C．f(x1) f(x2) D．无法确定

7．函数f(x)

高三理

电场的基本性质

【知识要点】 一、力的性质

1．电场：物质性，矢量性，力的性质。

2．电场强度：E=F/q，其中q为检验电荷。该方程适用于一切电场。（匀强电场的概念） 3．库仑力公式： F?kQq，适用于真空中的点电荷。

r24．点电荷场强： E?kQ，适用于真空中的点电荷。 2r5．电场线：几种典型的电场线。 5．电荷守恒定律。 二、电场能的性质

1．电势差：UAB?WAB/q,单位:伏,符号V，两点间的电势差在数值上等于在两点间移动单位正电荷时电场力的功（只决定于电场本身）

2．电场中某点的电势是指该点与零电势点之间的电势差，符号：?，电场中某点的电势等于单位正电荷由该点移动到零电势点时电场力的功，描述电场能的性质（取决于零电势的选择） 3．电势能：??q?，电荷在电场中由其相对位置决定的能（类似重力势能）（由电荷与电场共同决定）

4．电场力做功：WAB?EPA?EPB(EPA.EPB分别是电荷电场中A、B两点的电势能）（只与初末位置的电势差有关，与路径无关。）

W=qE·s（s为电荷初末位置在电场方向上的位移）

WAB?qUAB（UAB为电荷初末位置间电势差的大小）

5．等势面及其特点。 6．U=Ed，（电势降落） 【典

一、 分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。 例1、判断：

（1）分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数，分数的大小不变。（ ） （2）分数的分子和分母同时乘或者除以一个数（0除外），分数的大小不变。（ ） （3）分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。（ ） 例2、诊断（请说出理由）

（1）

（3）

22?481212?62???? （2） 55?4202424?6433?2555?510?? （4）?? 77?291212?1224巩固练习：

1、把下面的分数化成分母是24而大小不变的分数

152576=（ ） =（ ） =（ ） =（ ） =（ ） 2612012482、把下面的分数化成分子是24而大小不变的分数

281203240=（ ） =（ ） =（ ） =（ ） =（ ） 97252703、填空 （1）

12的分母除以4，要使分数大小不