计数问题方法与技巧

计数问题专题训练

数字计数

一、知识梳理：

数字计数的问题，是研究计算符合条件的数有多少或数字出现的次数的一类问题。一般解题的思路为设法把它们分成几个部分，分别去研究从而得到问题的解答。

二、例题精讲：

1、从0至99的整数中，数字0和1各出现了多少次？ 解析：把0至99这100个整数分成10段。

0至9，0和1各出现了1次，10至19，0出现1次，1出现11次； 20至29，0和1各出1次； 30至39，0和1各出1次； 40至49，0和1各出1次； 50至59，0和1各出1次； 60至69，0和1各出1次； 70至79，0和1各出1次； 80至89，0和1各出1次； 90至99，0和1各出1次； 共计：0了现了1×10=10次，1出现11+1×9=20次

2、从156至591的整数中，数字“2”共出现了多少次？ 解析：把156至591的数分成以下几段：

156至199，百位0次，十位0次，个位4次 200至299，百位100次，十位10次，个位10次 300至399，百位0次，十位10次，个位10次

计数问题专题训练

数字计数

一、知识梳理：

数字计数的问题，是研究计算符合条件的数有多少或数字出现的次数的一类问题。一般解题的思路为设法把它们分成几个部分，分别去研究从而得到问题的解答。

二、例题精讲：

1、从0至99的整数中，数字0和1各出现了多少次？ 解析：把0至99这100个整数分成10段。

0至9，0和1各出现了1次，10至19，0出现1次，1出现11次； 20至29，0和1各出1次； 30至39，0和1各出1次； 40至49，0和1各出1次； 50至59，0和1各出1次； 60至69，0和1各出1次； 70至79，0和1各出1次； 80至89，0和1各出1次； 90至99，0和1各出1次； 共计：0了现了1×10=10次，1出现11+1×9=20次

2、从156至591的整数中，数字“2”共出现了多少次？ 解析：把156至591的数分成以下几段：

156至199，百位0次，十位0次，个位4次 200至299，百位100次，十位10次，个位10次 300至399，百位0次，十位10次，个位10次

谈谈XS128的脉冲计数问题，讨论如何按照手册编程

编码器, 单片机, 传动轴, 定时器, 时间 谈谈XS128的脉冲计数问题

1. 测速在常用的方法是测速，一见到过的有两大类：A—采用编码器(包括才用鼠标器内的改用)，B—采用检测光电 计数。

2. A方法精度高，成本也高，自改制会便宜一点；B自制便宜，精度不高。

3. A方法按照网上介绍的多是直接接在电机的传动轴上，如果是300mpr的编码器，一圈就是300个脉冲，如果电机

每秒10圈，就是3000个脉冲，这种编码器如果采用定时器的CCP——扑捉中断的功能将会使得单片机大量时间处理这 个中断，如果系统还有其它中断会造成技术不准等问题，因此适合门控计数的方案，而XS128只提供了一路16位门

控计数模块，并且规定只能从PT7口输入；

B方法由于是计数轴的转速，有采用霍尔的，有光电的(比如我们的方案就是轴上直测，一圈4个)，他的采样速度比

编码器少的多，能差出2个数量级或以上，也就是最多数十个PS，可以采用门控计数，也可以采用CCP扑捉技术方案

，我们就是采用这个方案。这样可以有多路计数单元——实际只用1路——PT0口。

4. 如何编程，参考原文文档Chapter 16 Timer Modul

计数方法与技巧（插板法概念）

计数方法与技巧（插板法例题1）

计数方法与技巧（插板法例题2）

计数之插板法习题1

插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

（1） 这n个元素必须互不相异

（2） 所分成的每一组至少分得一个元素

(3) 分成的组别彼此相异

举个很普通的例子来说明

把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36

下面通过几道题目介绍下插板法的应用

a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？

2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

b 添板插板法

3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？

4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？

5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之

计数方法与技巧综合

知识框架图 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6 计数方法与技7 计数综合 巧综合 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

教学目标

例题精讲

模块一、归纳法

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直

线最多分这个平面为多少部分?

【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将

n?n?1?平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分． 2方法二

计数方法与技巧综合

知识框架图 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6 计数方法与技7 计数综合 巧综合 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

教学目标

例题精讲

模块一、归纳法

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直

线最多分这个平面为多少部分?

【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将

n?n?1?平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分． 2方法二

计数方法与技巧综合

知识框架图 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6 计数方法与技7 计数综合 巧综合 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

教学目标

例题精讲

模块一、归纳法

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直

线最多分这个平面为多少部分?

【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将

n?n?1?平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分． 2方法二

计数方法与技巧综合

知识框架图 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6 计数方法与技7 计数综合 巧综合 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

教学目标

例题精讲

模块一、归纳法

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直

线最多分这个平面为多少部分?

【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将

n?n?1?平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分． 2方法二

第九讲 几何中的计数问题（一）

几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.

一、数线段

我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的. 例1数一数下列图形中各有多少条线段.

二、数角

例2 数出右图中总共有多少个角.

例3数一数右图中总共有多少个角？

三、数三角形

例4如右图中，各个图形内各有多少个三角形？

例5如右图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？

神经依旧制作贡献

练习题

1.数一数下图中，各有多少条线段？

一、

数一数下图中各有多少角？

3.数一数下图中，各有多少条线段？

4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？

每日一测 1、甲、乙两地相距300千米，两辆车同时从甲地开往乙地，已知两辆车的速度分别是48千米和52千米，快车到达乙地后立即返回，两车从甲地开出后几小时

一、求解析式的一般方法 1、换元法

2

例1：已知f(x+1)=x-2x求f(x)

22

解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)-2(t-1)=t-4t-3

2

∴f(x)=x-4x-3

换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。 2、方程组法

例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(解：令x=

1)=3x，求f(x) x113则f()+2f(x)= xxx12f(x)+2f()=3x ＝＞f(x)= -x

xx132f(x)+f()=

xx2∴f(x)= -x

x 例3 .

例4

3、待定系数法

例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a≠0)

则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1

1

例6：已知f(x)是多项式函数，

解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的